Une fonction de base locale et la cellule géométrique qui lui est associée utilisée dans les discrétisations par éléments finis ; le terme désigne à la fois l'élément (cellule) et l'espace de fonctions polynomiales défini dessus qui approchent les champs sur un maillage.

Principe

Partition de l'unité et localité : les éléments fournissent des supports locaux pour les fonctions de base de sorte que les approximations globales sont assemblées à partir de contributions locales via des formulations variationnelles, imposant la continuité ou la conformité selon l'espace de fonctions choisi.

Démonstration

Un élément fini triangulaire de Lagrange linéaire sur un maillage 2D : chaque élément porte trois fonctions nodales linéaires sur le triangle, permettant une approximation par morceaux linéaires d'un champ scalaire avec continuité inter‑éléments aux nœuds.

Mauvaise application

Mélanger des espaces d'éléments incompatibles (par exemple utiliser des éléments de déplacement continus avec des éléments de pression discontinus en élasticité incompressible) ou augmenter l'ordre polynomial sans traiter la qualité du maillage, entraînant du verrouillage ou des approximations non convergentes.

Conséquence

Le choix approprié d'éléments finis conduit à des taux de convergence contrôlés, des estimateurs d'erreur locaux et un couplage stable entre champs (par ex. formulations mixtes) ; il sous-tend la conception de solveurs et guide le raffinement du maillage et le préconditionnement.

Inversion

Utiliser des bases globales (méthodes spectrales avec polynômes trigonométriques globaux) inverse le caractère local des éléments finis : une grande précision par degré de liberté est possible sur des problèmes lisses mais on perd la localité et les propriétés d'assemblage creux.

Limite

Se réfère aux éléments en tant que cellule géométrique combinée à un espace de fonctions local dans les méthodes par éléments finis ; exclut les schémas purement aux différences finies, les fonctions de base sans maillage sauf si elles sont interprétées comme supports d'éléments, et d'autres discretisations comme les volumes de contrôle sauf réinterprétation.

Tension sémantique

Tension entre « élément fini » en tant que cellule géométrique et en tant que fonction de base : les praticiens peuvent privilégier la géométrie du maillage, l'ordre polynomial ou la conformité de l'espace de fonctions, menant à des priorités différentes en implémentation et analyse.

Synthèse

Un élément fini est l'unité localisée d'approximation combinant une cellule géométrique et des fonctions de base ; l'assemblage de nombreux éléments fournit une approximation variationnelle globale dont la précision et la stabilité découlent de la forme locale, de l'ordre et de la continuité inter‑éléments.