Un valor propio asociado al problema de transmisión interior: un valor del parámetro espectral para el cual existen campos interiores no triviales a ambos lados de una interfaz que satisfacen las condiciones de transmisión (continuidad del campo y del flujo) en la interfaz en ausencia de ondas incidentes.

Principio

Los valores propios de transmisión surgen del acoplamiento de dos EDP a través de una interfaz mediante la continuidad de trazas y derivadas conormales; caracterizan frecuencias en las que el sistema de transmisión homogéneo admite soluciones interiores no triviales sin forzamiento externo.

Demostración

En dispersión acústica con una inclusión acotada de distinto índice de refracción, un valor propio de transmisión k^2 es un número de onda para el cual existen campos de presión interiores u y v no nulos que resuelven las ecuaciones de Helmholtz con coeficientes distintos dentro y fuera de la inclusión y cumplen u = v y ∂_ν u = ∂_ν v en la interfaz, sin campo incidente.

Aplicación incorrecta

Tratar los valores propios de transmisión como valores propios de Dirichlet o Neumann de un único dominio; a diferencia de los valores propios clásicos de frontera, los de transmisión provienen de un problema acoplado interior–interior y pueden no corresponder al espectro de un único operador autoadjunto.

Consecuencia

Los valores propios de transmisión influyen en problemas inversos: su existencia y distribución contienen información sobre el contraste material y pueden emplearse para reconstruir o acotar propiedades internas del dispersor; también indican frecuencias con no unicidad interior del sistema de transmisión homogéneo.

Inversión

Una resonancia de dispersión o polo del operador de dispersión exterior es la noción inversa: las resonancias se refieren a soluciones salientes en el dominio exterior sin campo incidente, mientras que los valores propios de transmisión implican soluciones interiores emparejadas no triviales que satisfacen exactamente el emparejamiento en la interfaz.

Límite

Se definen para problemas con una interfaz acotada que separa medios con coeficientes diferentes y regularidad suficiente; quedan excluidos medios fuertemente absorbentes (índices complejos con gran parte imaginaria) donde la formulación de transmisión interior debe adaptarse, y situaciones sin una clara descomposición en dos regiones.

Tensión semántica

Existe tensión conceptual entre valores propios de transmisión y espectros interiores de Dirichlet/Neumann o resonancias de dispersión: comparten carácter espectral pero difieren en su origen (problema acoplado interior vs valor propio de un dominio único o polo exterior), lo que conduce a confusiones si se identifican a la ligera.

Síntesis

Un valor propio de transmisión es un parámetro espectral en el que el problema de transmisión interior homogéneo admite campos interiores emparejados no triviales en una interfaz; codifica contraste material y se distingue de los valores propios clásicos y de las resonancias exteriores.