Una estrategia de demostración por contradicción que supone la existencia de un contraejemplo mínimo (el más pequeño) a una afirmación universal respecto a una medida bien fundada elegida, y luego deriva una contradicción construyendo un contraejemplo aún menor o mostrando que el objeto mínimo debe satisfacer la afirmación.

Principio

Minimalidad bien fundada: en un dominio bien ordenado o bien fundado toda colección no vacía tiene un elemento mínimo; suponer un contraejemplo mínimo permite usar su minimalidad para restringir la estructura y forzar contradicciones mediante operaciones de reducción.

Demostración

Para demostrar una propiedad para todos los enteros positivos n, suponga que n0 es el menor entero para el cual la propiedad falla. Use descomposición algebraica o inducción en índices menores para construir n'

Aplicación incorrecta

Emplear el método sin una medida de tamaño genuinamente bien fundada, o reducir un supuesto contraejemplo mínimo a objetos incomparables (de modo que no exista un contraejemplo estrictamente menor), invalida el argumento; también se abusa si la reducción no respeta la medida.

Consecuencia

Produce pruebas inductivas o estructurales concisas que impiden la regresión infinita; con frecuencia da pruebas de existencia no constructivas elegantes y puede simplificar análisis de casos complejos centrándose en las obstrucciones mínimas.

Inversión

Una prueba constructiva construye testigos explícitos para todos los casos en lugar de argumentar por la imposibilidad de un contraejemplo mínimo; este enfoque directo suele ofrecer cotas y algoritmos que el método del contraejemplo mínimo no proporciona.

Límite

Requiere un orden bien fundado o una función de tamaño compatible con las reducciones utilizadas; por sí sola no proporciona cotas efectivas, tasas cuantitativas ni ejemplos constructivos sin trabajo adicional.

Tensión semántica

Estrechamente relacionado con la inducción fuerte y el descenso infinito; la tensión aparece cuando existen varios mínimos incomparables o cuando la noción de 'más pequeño' es ambigua, haciendo crucial la elección de la medida.

Síntesis

Suponga un contraejemplo mínimo bajo una medida bien fundada, explote su minimalidad para construir un contraejemplo estrictamente menor o derivar una contradicción, y así elimine la posibilidad de cualquier contraejemplo, demostrando la afirmación universal.