Número real extendido no negativo que cuantifica la tasa de crecimiento exponencial del número de segmentos de órbita distinguibles de una aplicación continua sobre un espacio topológico (o métrico) compacto; puede definirse mediante recubrimientos abiertos, conjuntos separados/cubridores o, en desplazamientos simbólicos, por el crecimiento de palabras admisibles.

Principio

Medir la complejidad contando comportamientos dinámicos distinguibles a escalas cada vez más finas en el tiempo: el crecimiento exponencial de las órbitas distinguibles por unidad de tiempo produce entropía positiva; el crecimiento subexponencial da entropía cero.

Demostración

El shift completo sobre k símbolos tiene entropía topológica ln(k) porque el número de palabras de longitud n crece como k^n; muchas funciones caóticas en intervalos tienen entropía topológica positiva, mientras que una isometría o una rotación en un grupo compacto tiene entropía cero.

Aplicación incorrecta

Confundir entropía topológica con entropía medida para una medida invariante concreta, usar las definiciones en espacios no compactos sin adaptación, o asumir que pequeños exponentes de Lyapunov implican necesariamente baja entropía topológica.

Consecuencia

La entropía topológica es invariante por conjugación topológica, se relaciona con la entropía medida mediante el principio variacional, y la entropía topológica positiva implica la existencia de estructuras orbitarias complejas (por ejemplo, herraduras, separación exponencial de órbitas) en muchos contextos.

Inversión

La inversión son los sistemas con entropía topológica cero, que presentan complejidad orbital limitada (sistemas equicontinuos, rotaciones) y suelen carecer de separación exponencial de órbitas.

Límite

Las definiciones estándar suponen compacidad (o el uso de subconjuntos invariantes compactos) y continuidad de la aplicación; para espacios no compactos hay que usar tasas de crecimiento relativas a compactos u otras nociones adaptadas; las definiciones equivalentes requieren una métrica o una cubierta generadora.

Tensión semántica

Tensión respecto a la entropía medida y a invariantes métricos (exponentes de Lyapunov): la entropía topológica es un invariante topológico de la aplicación, mientras que la entropía medida depende de la medida invariante elegida; están relacionadas por el principio variacional pero captan aspectos distintos de la complejidad.

Síntesis

La entropía topológica condensa la complejidad orbital de una aplicación continua en una única tasa de crecimiento: cuenta segmentos de órbita distinguibles a escala ε para tiempo n y toma la tasa de crecimiento exponencial en n cuando ε→0; un valor positivo señala proliferación exponencial de comportamientos dinámicos distintos.