Una asignación de datos que asocia a cada abierto U de un espacio topológico X un objeto algebraico o analítico (conjunto, grupo, anillo, módulo, etc.) junto con mapas de restricción, satisfaciendo localidad (secciones iguales en las intersecciones son iguales) y pegado (secciones locales compatibles respecto a una cubierta se pegan de forma única en una sección global).

Principio

Codificar datos definidos localmente y las reglas para restringir y pegar coherentemente esos datos para reconstruir objetos globales a partir de piezas locales compatibles.

Demostración

El haz C^0_X de funciones reales continuas en un espacio topológico X asigna a cada abierto U el anillo C^0(U). El haz de funciones holomorfas en una variedad compleja o el haz estructural O_X en un esquema son ejemplos estándar.

Aplicación incorrecta

Usar un prefaz que carece del axioma de pegado como si fuera un haz (por ejemplo, suponer que los datos algebraicos localmente compatibles siempre se pegan de forma única cuando existen obstrucciones o clases de cohomología que lo impiden).

Consecuencia

El uso correcto de haces permite sucesiones espectrales local‑a‑global, cálculos de cohomología de haces y control preciso de las obstrucciones locales a la extensión y al descenso.

Inversión

Prefaz: una asignación con mapas de restricción pero sin pegado garantizado; los prefazes pueden fallar en reflejar la coherencia global de los datos locales.

Límite

No todo prefaz es un haz; la teoría de haces normalmente excluye datos que solo pueden pegarse 'hasta isomorfismo' (pilas/stack) o objetos definidos solo en vecindades formales (esquemas formales) salvo que se añadan estructuras complementarias.

Tensión semántica

Frente a fibrados o sistemas locales: un haz codifica datos algebraicos locales y condiciones de pegado, mientras que un fibrado/sistema local añade estructura geométrica o lineal y condiciones de trivialidad local.

Síntesis

Un haz es una forma reglamentada de registrar datos algebraicos o analíticos locales con mapas de restricción y una ley de pegado precisa, de modo que secciones locales compatibles determinan una sección global única y se facilita el razonamiento local‑a‑global.