Una sucesión graduada de grupos abelianos o módulos ...C_n... conectada por mapas frontera d_n: C_n → C_{n-1} con d_{n-1} ∘ d_n = 0 para todo n; sirve para definir los grupos de homología H_n = ker d_n / im d_{n+1}.

Principio

La regla organizadora es 'la frontera de una frontera es cero': las composiciones sucesivas de los mapas frontera son nulas, lo que aísla ciclos y fronteras y permite formar cocientes para obtener homología.

Demostración

El complejo de cadenas singulares de un espacio topológico tiene C_n generado por aplicaciones continuas desde el símplex estándar de dimensión n al espacio; las fronteras se inducen por la restricción a las caras, lo que produce la homología singular.

Aplicación incorrecta

Olvidar los signos del graduado o componer mapas en el grado equivocado, o tratar morfismos de complejos que son solo quasi-isomorfismos como si fueran isomorfismos reales de homología sin comprobar los mapas inducidos.

Consecuencia

Una construcción correcta produce grupos de homología invariantes por homotopía, admite sucesiones exactas largas derivadas de sucesiones exactas cortas de complejos y facilita el cálculo de funtores derivados.

Inversión

Invirtiendo las flechas y la graduación se obtiene un complejo de co­cadenas: las cobrteras aumentan el grado y la cohomología aparece como núcleos módulo imágenes en la dirección opuesta.

Límite

Requiere una categoría aditiva (habitualmente grupos abelianos o módulos) para formar núcleos, imágenes y cocientes; sucesiones no graduadas o entornos no aditivos quedan fuera de esta definición salvo que se indique una analogía adecuada.

Tensión semántica

Existe tensión entre complejos de cadenas simples y álgebras o módulos diferencialmente graduados: estos últimos añaden estructura multiplicativa y coherencias superiores que cambian las construcciones e invariantes disponibles.

Síntesis

Un complejo de cadenas es un objeto graduado y aditivo con mapas frontera cuyo cuadrado es cero; los ciclos y fronteras definidos así producen grupos de homología que codifican información algorítmico-topológica del objeto original.