Estructura obtenida a partir de una estructura dada M tomando el producto cartesiano M^I de copias de M indexadas por un conjunto I y luego factorizando por un ultrafiltro U sobre I: los elementos son clases de equivalencia de funciones I → M que coinciden en un conjunto de U. Los ultraproductos y, en particular, las ultrapotenias son herramientas centrales para producir extensiones elementales y modelos no estándar.

Principio

Identificar dos secuencias (funciones) f,g : I → M si {i ∈ I : f(i)=g(i)} ∈ U; interpretar relaciones y funciones punto por punto y transferir la verdad mediante el teorema de Łoś, que afirma que una fórmula de primer orden se satisface en el ultraproducto si y sólo si se satisface en U-muchas coordenadas.

Demostración

Dada una estructura M, un conjunto de índices I y un ultrafiltro no principal U sobre I, formar M^I/U. Por el teorema de Łoś, si M satisface una sentencia σ en U-muchas coordenadas, la clase [f] satisface σ en la ultrapower. Si U es no principal, la ultrapower suele ser una extensión elemental propia de M, produciendo elementos no estándar representados por secuencias no constantes en conjuntos de U.

Aplicación incorrecta

Tratar el ultraproducto como idéntico al producto directo o al cociente por un filtro cualquiera; suponer elementaridad sin ultrafiltro; ignorar el teorema de Łoś y esperar que las propiedades punto por punto fallen sistemáticamente. Usar un ultrafiltro principal sin notar que la ultrapower es entonces isomorfa a la estructura original evaluada en ese índice.

Consecuencia

Las ultrapower proporcionan consecuencias potentes de estilo compacidad: existencia de modelos elementalmente equivalentes pero mayores, saturación y preservación de propiedades de primer orden, y la construcción de modelos no estándar (por ejemplo, análisis no estándar). Ofrecen medios flexibles para transferir propiedades locales a una estructura global mediante el ultrafiltro.

Inversión

Sustituir el ultrafiltro por un filtro más grueso o omitir el cociente vuelve al producto completo con propiedades lógicas muy distintas; por el contrario, tomar ultrapowers sucesivas puede producir modelos altamente saturados o de gran tamaño, mientras que revertir el cociente hace perder elementaridad.

Límite

Depende fundamentalmente de la elección del ultrafiltro; los ultrafiltros no principales producen extensiones propias y muchas características no estándar pero requieren asunciones de existencia en teoría de conjuntos. Las técnicas de ultrapower preservan verdades de primer orden pero no reflejan en general propiedades de orden superior o relativas a grandes cardinales del índice.

Tensión semántica

Compite con otras técnicas de construcción de modelos (p. ej., construcción de Henkin, construcciones back-and-forth): las ultrapowers son semánticas y dependen de ultrafiltros y del teorema de Łoś, mientras que otras técnicas son sintácticas o combinatorias; la tensión surge al elegir herramientas para lograr elementaridad frente a construcciones de términos explícitos.

Síntesis

Una ultrapower colapsa el producto de muchas copias de una estructura mediante un ultrafiltro para crear un nuevo modelo cuyas propiedades de primer orden son gobernadas por el teorema de Łoś; escogiendo un ultrafiltro adecuado se obtienen extensiones elementales, modelos saturados o no estándar indispensables en teoría moderna de modelos.