El número de tipos completos distintos de aridad n (sobre un conjunto de parámetros especificado, a menudo el conjunto vacío) que se realizan en modelos de una teoría o son consistentes con la teoría; se usa para cuantificar la diversidad de descripciones completas de n-tuplas hasta equivalencia fuerte.

Principio

Los tipos particionan el espacio de posibles n-tuplas por sus descripciones completas de primer orden; contar tipos mide cuántos comportamientos esencialmente distintos pueden exhibir las tuplas y es central para nociones de clasificación como estabilidad, superstabilidad y ω-estabilidad.

Demostración

Ejemplo: en una teoría estable, el número de 1-tipos sobre un conjunto de parámetros numerable es como máximo numerable, mientras que una teoría inestable puede tener 2^ℵ0 tipos completos de 1; las estructuras finitas realizan a lo sumo tantos 1-tipos como su cardinalidad.

Aplicación incorrecta

Confundir el recuento de tipos completos con el recuento de fórmulas sintácticas o asumir que un alto número de tipos siempre implica intractabilidad algorítmica; los conteos de tipos dependen del conjunto de parámetros y de si se cuentan tipos realizados frente a consistentes.

Consecuencia

Conteos precisos de tipos permiten la clasificación modelo-teórica de teorías, informan sobre la existencia de modelos primos o saturados y guían principios de transferencia entre cardinalidades en la teoría de la estabilidad.

Inversión

En lugar de contar tipos completos realizados, se puede contar tipos omitidos o considerar el espacio de tipos parciales; esta inversión pone de relieve fenómenos de independencia, omisibilidad y propiedades de extensión más que la diversidad realizada.

Límite

El conteo de tipos depende de la aridad n, de la elección del conjunto de parámetros y de si se cuentan tipos realizados versus consistentes o completos versus parciales; es un invariante modelo-teórico sensible al contexto y a la cardinalidad del lenguaje.

Tensión semántica

Existe tensión entre conteos sintácticos (número de fórmulas modulo equivalencia) y conteos semánticos (tipos como conjuntos consistentes máximales), y entre conteos locales (n fijo) e invariantes globales como el rango de Morley o funciones espectrales.

Síntesis

El conteo de tipos es la medida cardinal de cuántas descripciones completas distintas de n-tuplas admite una teoría en un contexto dado; al relacionar estos conteos con estabilidad y saturación se obtiene un invariante compacto que impulsa resultados de clasificación y construcción.