Una cota inferior sobre la varianza (o matriz de covarianza) de cualquier estimador insesgado de un parámetro, expresada en términos de la información de Fisher: para un parámetro escalar Var(theta_hat) ≥ 1 / I(theta); en forma multivariante la matriz de covarianza está acotada por debajo por la inversa de la matriz de información de Fisher bajo condiciones de regularidad.

Principio

Derivada de la desigualdad de Cauchy–Schwarz aplicada a la función score, la desigualdad de información cuantifica cómo la curvatura de la log-verosimilitud (información de Fisher) limita la precisión alcanzable por estimadores insesgados.

Demostración

Estimar la media de una normal con varianza conocida: la media muestral es insesgada y alcanza Var = sigma^2 / n, que coincide con la cota de Cramér–Rao calculada a partir de la información de Fisher, ilustrando la alcanzabilidad cuando existe un estimador eficiente.

Aplicación incorrecta

Usar la cota para estimadores sesgados, para parámetros en el borde del espacio paramétrico o cuando fallan las condiciones de regularidad (diferenciabilidad bajo el signo de integral, información de Fisher finita); calcular incorrectamente la información de Fisher produce cotas engañosas.

Consecuencia

Proporciona un referente fundamental de eficiencia: si un estimador insesgado alcanza la cota se le denomina eficiente; la cota guía la comparación de estimadores y la teoría asintótica (por ejemplo, el MLE alcanza la cota asintóticamente bajo regularidad).

Inversión

En modelos donde la cota no es alcanzable, o cuando se permite sesgo para reducir el error cuadrático medio, la cota de Cramér–Rao no es alcanzable ni el único criterio; en entornos bayesianos, los criterios de riesgo posterior o de Bayes sustituyen la cota frecuentista.

Límite

Válida bajo condiciones de regularidad y diferenciabilidad para familias parametrizadas y estimadores insesgados; no se aplica a todos los estimadores, puede ser laxa en muestras finitas y falla en modelos singulares o con información de Fisher infinita.

Tensión semántica

Compite con otras cotas inferiores (p. ej., Bhattacharyya, Hammersley–Chapman–Robbins) y con cotas que permiten estimadores sesgados o criterios minimax; la tensión surge entre optimalidad paramétrica y alcanzabilidad práctica.

Síntesis

La Cota Inferior de Cramér–Rao usa la información de Fisher para fijar un límite teórico a la varianza de estimadores insesgados bajo regularidad; ofrece un punto de referencia para eficiencia y optimalidad asintótica, admitiendo casos en que no es alcanzable o no es apropiada.