El número de empaquetamiento P(ε,S,ρ) es la cardinalidad máxima de un subconjunto de S cuyos elementos están a distancia mutua mayor que 2ε (equivalente al número máximo de bolas cerradas de radio ε disjuntas que se pueden colocar dentro de S); mide cuántos puntos bien separados puede contener S a la escala ε.

Principio

Cuantificar la capacidad por separación máxima: contar el mayor conjunto de puntos en S mutuamente ε-separados de modo que las bolas ε correspondientes no se solapen, captando la diversidad interna a esa escala.

Demostración

Dentro de la bola unidad en R^d se pueden colocar del orden de (1/ε)^d bolas disjuntas de radio ε; un empaquetamiento en red ofrece una cota inferior para P(ε) mostrando la dependencia de la dimensión y del radio.

Aplicación incorrecta

Asumir que los números de empaquetamiento y cobertura son idénticos; o usar recuentos de empaquetamiento para inferir cobertura sin considerar la relación del factor dos en el radio y la geometría específica de la métrica.

Consecuencia

Un alto número de empaquetamiento a pequeño ε indica gran capacidad y separabilidad, lo que se traduce en cotas inferiores sobre la complejidad muestral e implica muchas hipótesis distinguibles a esa escala.

Inversión

Considerar el número de cobertura como la noción complementaria: mientras el empaquetamiento mide cuántas bolas disjuntas caben en S, la cobertura mide cuántas bolas hacen falta para cubrir S; existen desigualdades que relacionan ambos (por ejemplo, packing(2ε) ≤ covering(ε) ≤ packing(ε)).

Límite

Depende de la métrica, la forma de las bolas y el espacio ambiente; el empaquetamiento presupone la disyunción de las bolas, por lo que es trivial o no está definido si S es demasiado pequeño respecto a ε, y no considera los solapamientos casi completos ni tolerancias probabilísticas de solapamiento.

Tensión semántica

Tensión con el número de cobertura y con nociones continuas de capacidad (entropía, dimensión); conjuntos con números de empaquetamiento similares pueden diferir mucho en su comportamiento de cobertura o en su aptitud para la aproximación por modelos estructurados.

Síntesis

El número de empaquetamiento captura el número máximo de puntos ε-separados en un conjunto: es un recuento dependiente de la escala de la separabilidad interna que complementa las medidas de compacidad basadas en cobertura.