Para un conjunto compacto F en un espacio lineal normado y un entero n, la anchura n de Kolmogorov es el menor error de aproximación en el peor caso posible cuando los elementos de F se proyectan sobre cualquier subespacio lineal de dimensión n; formalmente d_n(F)=inf_{V, dim V=n} sup_{f in F} dist(f,V).

Principio

Organizar la calidad de aproximación mediante el error minimax sobre todos los subespacios lineales de dimensión n: elegir el subespacio que minimiza la distancia máxima de F al subespacio.

Demostración

Aproximar la bola unidad de un espacio de Sobolev por un subespacio polinomial de dimensión n: la anchura n decrece a una tasa determinada por la regularidad y la dimensión ambiente, proporcionando una cota concreta del error en norma supremo para todas las funciones de la bola.

Aplicación incorrecta

Usar la anchura n de Kolmogorov para evaluar esquemas de aproximación no lineales (por ejemplo, redes neuronales o diccionarios adaptativos) como si estuvieran restringidos a subespacios lineales; esto subestima la potencia de los métodos no lineales.

Consecuencia

Una anchura n pequeña implica que F puede aproximarse uniformemente por modelos lineales de baja dimensión, lo que lleva a compresión, reducción de modelos y garantías deterministas de error en el peor caso para aproximaciones lineales.

Inversión

Invertir la perspectiva fijando el error de aproximación y preguntando por la n mínima para lograrlo; contrastar con anchuras duales (p. ej. anchuras de Gelfand) que miden la aproximación mediante funcionales lineales en lugar de subespacios.

Límite

Se aplica solo a subespacios lineales y errores en el peor caso (supremo) en una norma especificada; los valores dependen fuertemente de la norma, requieren compacidad o precompactidad de F para ser finitos y no describen aproximabilidad aleatoria o en promedio.

Tensión semántica

Compite con medidas de aproximación no lineal (dimensión de variedad, anchuras no lineales) y con conceptos duales como las anchuras de Gelfand; términos cercanos pueden confundir linealidad, error al peor versus promedio o dependencia de la norma ambiente.

Síntesis

La anchura n de Kolmogorov cuantifica la compresibilidad lineal en el peor caso de un conjunto compacto en una norma dada: es el ínfimo sobre subespacios n-dimensionales de la distancia máxima del conjunto al subespacio, ofreciendo una medida precisa del poder de aproximación lineal.