Una aplicación que envía elementos distintos del dominio a elementos distintos del codominio; equivalentemente, f es inyectiva si f(x)=f(y) implica x=y.

Principio

La inyección impone unicidad de imágenes: no hay colisiones de dos elementos distintos del dominio bajo la aplicación, lo que permite inversión parcial sobre la imagen y favorece incrustaciones fieles de estructuras cuando se cumplen condiciones de compatibilidad adicionales.

Demostración

La inclusión i: N → Z dada por i(n)=n es inyectiva: cada natural tiene una imagen distinta. En álgebra lineal, una aplicación lineal inyectiva tiene núcleo trivial; por ejemplo una transformación lineal inyectiva de R^2 en R^3 incrusta R^2 como subespacio bidimensional.

Aplicación incorrecta

Suponer que la inyectividad implica invertibilidad sobre todo el codominio; una aplicación inyectiva puede no ser suprayectiva, por lo que no existe inversa bilateral sobre el codominio completo. También confundir mapas inyectivos de conjuntos con incrustaciones categóricas que exigen preservación de estructura adicional (incrustación topológica, incrustación algebraica).

Consecuencia

La inyectividad garantiza que elementos distintos del dominio permanezcan distinguibles en el codominio, permitiendo inversas por la izquierda definidas en la imagen y apoyando construcciones basadas en representaciones fieles o incrustaciones.

Inversión

Una aplicación suprayectiva que no es inyectiva colapsa elementos distintos del dominio en un mismo elemento del codominio, perdiendo información; tales aplicaciones son muchos-a-uno y no invertibles de forma única.

Límite

La inyección es una propiedad de conjuntos independiente de la suprayectividad u otras condiciones estructurales; no preserva por sí sola operaciones, topología o suavidad a menos que se añadan restricciones adicionales.

Tensión semántica

La inyección se confunde a menudo con incrustación o monomorfismo en teoría de categorías; la tensión es si el mapa simplemente separa puntos (inyectivo) o también respeta estructura adicional y propiedades universales (incrustación/monomorfismo).

Síntesis

Una inyección es una función que nunca asigna dos entradas distintas a la misma salida, asegurando distinción uno-a-uno y permitiendo una inversa por la izquierda sobre su imagen.