Una aplicación entre dos conjuntos que es a la vez inyectiva y suprayectiva, de modo que cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del codominio y todo elemento del codominio está emparejado con algún elemento del dominio.

Principio

Una biyección establece una correspondencia uno a uno y, por tanto, igualdad de cardinalidades entre conjuntos; proporciona un emparejamiento invertible que permite construir una función inversa del codominio al dominio.

Demostración

Ejemplos típicos: cualquier permutación del conjunto {1,2,3} es una biyección; para conjuntos infinitos existe una biyección entre N y el conjunto de números pares si se toma éste como codominio, y codificaciones par/impar definen biyecciones sencillas entre N y N×{0,1}.

Aplicación incorrecta

Usar una biyección de los conjuntos subyacentes para concluir preservación de estructura adicional (algebraica, topológica o suave) sin comprobar condiciones de preservación de estructura; una biyección por sí sola no indica compatibilidad con operaciones o topología.

Consecuencia

Las biyecciones implican igualdad de cardinalidad y permiten invertir: conteos combinatorios, aritmética de cardinales y la transferencia de etiquetado o argumentos de enumeración dependen de correspondencias biyectivas.

Inversión

Una aplicación inyectiva pero no suprayectiva, o suprayectiva pero no inyectiva, no es una biyección: la primera carece de elementos del codominio, la segunda colapsa elementos del dominio.

Límite

La biyección es una noción de conjuntos independiente de estructuras adicionales; no concede automáticamente continuidad, linealidad u otras propiedades categóricas salvo que éstas se verifiquen por separado.

Tensión semántica

La biyección puede confundirse con isomorfismo cuando se ignoran estructuras adicionales; la tensión es si se exige mera correspondencia uno a uno o equivalencia que respete estructura.

Síntesis

Una biyección es la aplicación invertible de conjuntos que empareja dominio y codominio uno a uno y sobre, estableciendo correspondencia exacta e igualdad de cardinalidad.