El conjunto de puntos tales que cada vecindad de cada uno interseca tanto un subconjunto dado de un espacio topológico como su complemento; equivalente: el cierre del subconjunto menos su interior.

Principio

Un punto pertenece a la frontera topológica de un conjunto precisamente cuando no existe vecindad abierta que lo separe totalmente del conjunto o de su complemento; la frontera captura la transición entre pertenecer y no pertenecer.

Demostración

En la recta real con la topología usual, la frontera del intervalo [0,1) es {0,1} porque toda vecindad de 0 o de 1 encuentra tanto [0,1) como su complemento, mientras que 0,5 es un punto interior con vecindades contenidas en el conjunto.

Aplicación incorrecta

Confundir frontera con cierre o interior conduce a errores: afirmar que todo punto del cierre es frontera ignora los puntos interiores y produce conclusiones topológicas incorrectas.

Consecuencia

Identificar correctamente las fronteras permite enunciar apropiadamente propiedades de separación, argumentos de compacidad y el comportamiento de funciones continuas en los bordes; las fronteras determinan fenómenos de límite y el 'perímetro' topológico.

Inversión

La inversión considera puntos que poseen alguna vecindad totalmente contenida en el conjunto o en su complemento; esos son los puntos interiores o exteriores, no los de la frontera.

Límite

Se aplica en cualquier espacio topológico; excluye nociones dependientes de la métrica como una 'frontera epsilon' basada en distancias, salvo cuando la topología procede de una métrica. Es un concepto puramente topológico, sin requerir medida o estructura lineal local.

Tensión semántica

A menudo se confunde con cierre e interior en distintos campos: el cierre reúne puntos adherentes, el interior los puntos con vecindades contenidas, mientras que la frontera es su diferencia; en análisis la palabra 'frontera' puede usarse informalmente para conjuntos límite, lo que genera ambigüedad.

Síntesis

La frontera topológica es el lugar de los puntos que median entre un conjunto y su complemento: aquellos cuyos vecindarios tocan ambos lados, describiendo el borde del conjunto en términos puramente topológicos.