Abreviatura de “Not the Independence Property”: una teoría es NIP si ninguna fórmula exhibe la propiedad de independencia, es decir, existe una cota que impide que las fórmulas codifiquen subconjuntos arbitrarios de conjuntos finitos arbitrariamente grandes (no hay 'shattering' sin límite).

Principio

Limitar la complejidad combinatoria de familias definibles impidiendo que una sola fórmula realice todos los patrones sobre conjuntos de parámetros finitos arbitrariamente grandes; equivalente a controlar un crecimiento tipo dimensión VC de las familias definibles.

Demostración

Ejemplo concreto: muchas teorías tamas como las o-minimales y ciertos cuerpos p-ádicos satisfacen NIP; en estas teorías las familias definibles no pueden 'shatterear' conjuntos finitos arbitrariamente grandes, lo que produce cotas combinatorias uniformes sobre las familias definibles.

Aplicación incorrecta

Suponer que NIP implica estabilidad o sencillez estructural plena; NIP es estrictamente más débil que la estabilidad, así que tratar teorías NIP como si tuvieran todas las consecuencias de la teoría estable conduce a inferencias incorrectas sobre forking, tipos definibles o bases canónicas.

Consecuencia

NIP produce numerosos resultados de regularidad: existencia y nitidez de medidas de Keisler invariantes, cotas en la alternancia en sucesiones indiscernibles y teoremas estructurales para grupos y medidas definibles que reflejan fenómenos de la teoría del aprendizaje estadístico.

Inversión

La negación (IP) permite a las fórmulas 'shatterear' conjuntos arbitrariamente grandes, produciendo máxima complejidad combinatoria; tales teorías admiten familias definibles con dimensión VC no acotada y codificación flexible de subconjuntos.

Límite

Propiedad de teorías y fórmulas de primer orden que trata el comportamiento combinatorio de 'shattering'; por sí sola no implica otras líneas divisorias (p. ej. simplicidad o NTP2), aunque interactúa con ellas, y es sensible a expansiones del lenguaje.

Tensión semántica

Existe tensión entre NIP y nociones más fuertes como la estabilidad: ambas restringen la complejidad pero de maneras distintas y con consecuencias diferentes para independencia y definibilidad; distinguir qué consecuencias perduran bajo NIP es sutil.

Síntesis

NIP es la prohibición combinatoria de la propiedad de independencia: limita cuán salvajemente las familias definibles pueden codificar patrones, proporcionando una nitidez intermedia entre la estabilidad plena y la inestabilidad arbitraria y permitiendo un análisis estructural basado en medidas y combinatoria.