Una condición de nitidez para estructuras ordenadas de primer orden que exige que todo subconjunto definible de la recta (dominio unidimensional) sea una unión finita de puntos e intervalos abiertos. Formaliza la ausencia de oscilaciones patológicas en los conjuntos definibles respecto al orden.

Principio

Restringir los conjuntos definibles unidimensionales a piezas topológicas simples (puntos e intervalos), lo que impone regularidad en el comportamiento geométrico y combinatorio y posibilita la descomposición en celdas y una teoría de la dimensión.

Demostración

Ejemplo concreto: el campo ordenado de los reales con sus operaciones de campo es o-minimal en el lenguaje semialgebraico; los subconjuntos definibles son uniones finitas de puntos e intervalos, y los conjuntos definibles de dimensión superior admiten descomposición en celdas semejantes a variedades.

Aplicación incorrecta

Tratar una expansión por funciones arbitrarias (por ejemplo añadir funciones analíticas oscilatorias sin restricciones) como aún o-minimal sin verificar condiciones de definibilidad; asumir o-minimalidad en contextos multi-sorteados o no ordenados donde el criterio unidimensional no aplica.

Consecuencia

La o-minimalidad produce fuerte regularidad geométrica y topológica: teoría de la dimensión, finitud de componentes conexas definibles, propiedades tame de medida y triangulación, y con frecuencia una buena noción de continuidad y diferenciabilidad definibles.

Inversión

La noción contraria permite subconjuntos definibles arbitrarios de la recta, incluidos conjuntos densos y altamente oscilatorios con alternancia infinita de puntos e intervalos, destruyendo la descomposición en celdas.

Límite

Es una propiedad de estructuras ordenadas y sus expansiones de primer orden; trata explícitamente sobre conjuntos definibles unidimensionales y no garantiza automáticamente nitidez para todos los sorts ni para expansiones que añaden funciones o predicados de mayor complejidad.

Tensión semántica

Surge tensión con nociones de nitidez más débiles (o-minimalidad débil, cuasi-o-minimalidad) y con expansiones analíticas: algunas expansiones preservan o-minimalidad mientras que otras incrementan drásticamente la complejidad definible, requiriendo distinciones precisas.

Síntesis

La o-minimalidad es un axioma de nitidez unidimensional para estructuras ordenadas que obliga a que los conjuntos definibles se descompongan en un número finito de intervalos y puntos, lo que a su vez sustenta una rica teoría geométrica (descomposición en celdas, dimensión, regularidad) para conjuntos y funciones definibles.