La diferencia entre partes distinguibles del espectro de un operador lineal o matriz, comúnmente la brecha entre el valor espectral dominante y el resto (por ejemplo, la diferencia entre el mayor y el segundo mayor autovalor en módulo o parte real).

Principio

Una brecha espectral no nula separa escalas temporales o modos: determina tasas exponenciales de decaimiento, mezcla o retorno al equilibrio para la dinámica generada por el operador; las brechas son especialmente significativas para operadores autoadjuntos o normales donde el espectro controla las normas directamente.

Demostración

Para una matriz estocástica de una cadena de Markov irreducible, el mayor autovalor es 1; la brecha espectral 1−λ2 (con λ2 el autovalor subdominante en módulo) controla el tiempo de mezcla y la tasa de convergencia a la distribución estacionaria.

Aplicación incorrecta

Tratar la brecha de un operador no normal como si gobernara el crecimiento transitorio es engañoso, porque el pseudospectro o la no normalidad pueden producir amplificaciones transitorias grandes a pesar de una brecha espectral.

Consecuencia

Una verdadera brecha espectral proporciona decaimiento exponencial uniforme de los modos fuera del subespacio dominante, cotas cuantitativas sobre mezcla o estabilidad y robustez de los proyectores espectrales ante pequeñas perturbaciones cuando hay regularidad adicional.

Inversión

La ausencia de brecha (espectro continuo acumulándose en el valor dominante o racimos de autovalores) implica convergencia lenta, posible decaimiento algebraico o oscilaciones persistentes; pequeñas perturbaciones pueden cambiar drásticamente la estructura espectral.

Límite

La noción es más directa en dimensión finita o para operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert; para operadores no autoadjuntos o no acotados hay que especificar qué parte del espectro y qué topología (norma, fuerte, resolvente) se usa.

Tensión semántica

La brecha espectral compite con nociones de pseudospectro: una gran brecha combinada con una gran norma del resolvente puede aún permitir crecimiento transitorio; la distinción brecha vs. dominancia aparece también al comparar multiplicidad geométrica y radio espectral.

Síntesis

La brecha espectral es la separación cuantificada en el espectro que gobierna la estabilidad y los decaimientos: cuando existe (adecuadamente definida para la clase de operadores), proporciona control exponencial de los modos no dominantes; su ausencia anuncia comportamiento delicado o lento.