La menor cardinalidad de una base para una topología en un conjunto dado; es un invariante cardinal que mide cuán 'grande' es una topología en términos de familias de abiertos que la generan.

Principio

Una base genera la topología por uniones, por lo que minimizar la cardinalidad de tal familia generadora captura la complejidad combinatoria mínima necesaria para recuperar la topología; el peso es ese cardinal mínimo.

Demostración

Ejemplos: un espacio discreto sobre un conjunto de cardinal κ tiene peso κ porque cada singleton debe aparecer en una base; la recta real con su topología habitual tiene peso ℵ0 (es de segunda numerabilidad); muchos espacios métricos separables tienen peso numerable, mientras que un producto de continuum de espacios no triviales puede tener peso muy grande.

Aplicación incorrecta

Confundir el peso con el carácter de densidad o con la cardinalidad de la topología en sí; suponer que un peso pequeño implica un conjunto subyacente pequeño (un conjunto grande puede soportar una topología de peso pequeño) o que el peso permanece invariante bajo construcciones habituales sin comprobar condiciones.

Consecuencia

El peso condiciona propiedades de incrustación y mapeo: los espacios de peso pequeño se incrustan en productos de un número acotado de espacios simples y satisfacen ciertas consecuencias relacionadas con la separabilidad y el tipo Lindelöf; es central en la clasificación por invariantes cardinales.

Inversión

Considerar bases máximas en lugar de mínimas o pasar a otros invariantes (p. ej. peso de red o carácter en un punto) produce medidas de tamaño topológico que enfatizan otros aspectos estructurales.

Límite

Definido para espacios topológicos únicamente; se refiere a bases (familias cuyas uniones producen todos los abiertos) y por tanto excluye nociones basadas en subbases o descripciones puramente categóricas a menos que se traduzcan en cardinalidades de bases.

Tensión semántica

El peso se sitúa junto al carácter de densidad, el número de Lindelöf y el carácter: la densidad mide el tamaño de subconjuntos densos, el peso mide familias generadoras, y estas magnitudes pueden divergir; distinguirlas es importante al clasificar espacios.

Síntesis

El peso topológico es el número mínimo de piezas abiertas básicas necesarias para generar la topología, un invariante cardinal que cuantifica la complejidad combinatoria de la topología y que interactúa con la separabilidad, las bases y las incrustaciones.