La cardinalidad de un conjunto es la clase de equivalencia de conjuntos equipotentes (en bijección) con él; la cardinalidad mide el tamaño a nivel de bijección y distingue tamaños finitos e infinitos indexados por cardinales como ℵ_0 o 2^{ℵ_0}.

Principio

Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad exactamente cuando existe una bijección entre ellos; la aritmética y comparación de cardinales (≤ vía inyecciones) extienden esta noción y producen invariantes como los alephs y el continuo, abstrayendo el 'cuánto' independientemente del orden o la estructura.

Demostración

El conjunto de naturales N tiene cardinalidad ℵ_0 porque está en bijección con cualquier conjunto contablemente infinito; los reales R tienen cardinalidad 2^{ℵ_0} (el continuo); los conjuntos finitos tienen cardinalidad igual a su número de elementos n ∈ N.

Aplicación incorrecta

Confundir cardinalidad con tipo de orden o con medida (medida de Lebesgue) es un error categorial: dos conjuntos pueden tener la misma cardinalidad pero propiedades topológicas o de medida muy distintas; también es engañoso tratar la cardinalidad como una magnitud entera ordinaria sin el contexto adecuado.

Consecuencia

La cardinalidad clasifica conjuntos por tamaño a bijección vista, permitiendo comparaciones (igual, menor o igual mediante inyecciones, estrictamente menor) y fundamentando la aritmética de cardinales, la clasificación de infinitos y resultados sobre la existencia de conjuntos con determinadas cardinalidades según hipótesis de teoría de conjuntos.

Inversión

En lugar de identificar conjuntos por clases de bijección, se puede estudiar tipos de orden, medidas o invariantes estructurales que distinguen conjuntos de igual cardinalidad; esta inversión enfatiza la estructura adicional más allá del mero tamaño.

Límite

Se aplica a conjuntos en teorías de conjuntos estilo ZF y exige aclarar si se trabaja con conjuntos puros, clases o conjuntos en un universo dado; la cardinalidad ignora multiplicidades en multiconjuntos, y la aritmética de cardinales puede depender de principios de elección (p. ej. AC afecta la comparabilidad de cardinales).

Tensión semántica

La cardinalidad compite con nociones intuitivas de tamaño procedentes de medida, topología o complejidad computacional: la cardinalidad es una relación de equivalencia gruesa (bijección) que pasa por alto estructura, por lo que no debe confundirse con equivalencias más finas empleadas en otros campos.

Síntesis

La cardinalidad es la medida del tamaño basada en bijecciones: usar bijecciones para identificar clases de igual cardinal, usar inyecciones y sobreyecciones para comparar tamaños, y aplicar la aritmética de cardinales con atención a las hipótesis de la teoría de conjuntos.