Un anillo conmutativo con unidad en el que todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo; equivalentemente, un conjunto con dos operaciones que forman un grupo aditivo abeliano y un grupo multiplicativo abeliano sobre los elementos no nulos.

Principio

Imponer la invertibilidad multiplicativa completa (salvo cero) junto con la conmutatividad para que la división (por elementos no nulos) sea siempre posible y el álgebra lineal tenga el comportamiento clásico.

Demostración

Los números racionales Q, los reales R y los campos finitos GF(p) son cuerpos; sobre cualquiera de estos cuerpos, los espacios vectoriales tienen bases y dimensiones bien definidas, posibilitando el álgebra lineal estándar.

Aplicación incorrecta

Tratar un dominio íntegro o un anillo local como cuerpo suponiendo que la división es siempre posible, o ignorar la característica, que afecta la factorización de polinomios y la independencia lineal.

Consecuencia

Los cuerpos permiten resolver sistemas lineales mediante división, sirven como cuerpos escalares para espacios vectoriales y sostienen nociones como cierres algebraicos, teoría de Galois y muchos resultados de clasificación.

Inversión

La inversión conduce a anillos cuyos elementos no nulos no tienen por qué ser invertibles (p. ej., Z), eliminando la posibilidad de división y cambiando sustancialmente el comportamiento de módulos y ecuaciones.

Límite

Excluye anillos de división no conmutativos (anillos tipo skew) cuando se exige conmutatividad; también excluye el anillo cero y anillos con divisores de cero, pues no pueden tener inversos para todos los elementos no nulos.

Tensión semántica

Tensión entre cuerpos y anillos de división (análogos no conmutativos), y entre cuerpos de distinta característica; algunas construcciones válidas en característica cero fallan en característica finita.

Síntesis

Un cuerpo es un sistema algebraico conmutativo maximalmente invertible: un anillo donde cada elemento no nulo es unidad, ofreciendo el dominio escalar canónico para operaciones lineales y algebraicas clásicas.