Definición
Una estructura algebraica formada por un conjunto dotado de una única operación binaria que es asociativa, posee un elemento identidad y tal que cada elemento tiene un inverso respecto de la operación.
Principio
Principio
El cierre bajo la operación junto con la asociatividad, la existencia de un elemento neutro y de inversos para cada elemento organiza el conjunto en un sistema que soporta simetría, resolución de ecuaciones y homomorfismos.
Demostración
Demostración
Los enteros Z con la suma forman un grupo: la suma es asociativa, 0 es la identidad y cada entero n tiene inverso −n. Otro ejemplo es el grupo simétrico de permutaciones sobre n símbolos bajo composición.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Tratar cualquier conjunto con una operación binaria como un grupo sin verificar asociatividad, identidad e inversos (por ejemplo, considerar un monoide sin inversos como grupo) conduce a razonamientos algebraicos incorrectos.
Consecuencia
Consecuencia
Los grupos proporcionan el lenguaje de la simetría, permiten la clasificación de subgrupos y cocientes, y admiten homomorfismos y representaciones; muchas estructuras (anillos, cuerpos) usan operaciones de grupo subyacentes.
Inversión
Inversión
El reverso es una estructura obtenida al eliminar uno o más axiomas, como un monoide (sin inversos) o un semigrupo (sin identidad); son estructuras algebraicas estrictamente más débiles con teoría diferente.
Límite
Límite
Un grupo debe satisfacer todos los axiomas de grupo; excluye estructuras con operaciones parciales, operaciones no definidas en todo el conjunto o múltiples operaciones que requieren axiomas de compatibilidad adicionales (p. ej. anillos).
Tensión semántica
Tensión semántica
Existe tensión entre el 'grupo' como objeto algebraico abstracto y sus realizaciones concretas (grupos de matrices, grupos de permutaciones); también entre grupos abelianos (conmutativos) y grupos no abelianos donde el orden importa.
Síntesis
Síntesis
Un grupo es el marco algebraico mínimo que captura la composición asociativa invertible con identidad y sirve como el escenario fundamental para la simetría y muchas construcciones algebraicas.