Una extensión T' de una teoría T es conservadora si T' no prueba nuevas oraciones en el lenguaje de T aparte de las ya probables en T; equivalentemente, toda oración del lenguaje original demostrable en la extensión ya lo era en la teoría base.

Principio

La conservatividad exige que los axiomas o símbolos añadidos sirvan solo para abreviar u organizar contenido sin producir consecuencias nuevas expresables en el vocabulario original; la extensión no puede resolver cuestiones del lenguaje original que T dejaba abiertas.

Demostración

Si T es una teoría de primer orden y T' se obtiene añadiendo un símbolo de función nuevo f junto con un axioma que define f(x) como un término t(x) ya expresable en T, entonces T' es una extensión conservadora de T, porque toda oración del lenguaje de T demostrable en T' puede reescribirse como demostración en T al eliminar f mediante su definición.

Aplicación incorrecta

Suponer que cualquier ampliación sintáctica que preserve la consistencia es conservadora. Una extensión puede ser consistente pero no conservadora: puede demostrar nuevos teoremas en el lenguaje antiguo (por ejemplo, añadiendo un esquema de axiomas que implique una afirmación aritmética antes independiente), por lo que la consistencia sola no implica conservatividad.

Consecuencia

Una extensión conservadora es segura para la práctica teórica: se pueden introducir definiciones, abreviaciones o herramientas convenientes sin cambiar los compromisos de la teoría sobre la materia original; los resultados sobre el vocabulario original permanecen iguales.

Inversión

Una extensión no conservadora añade nuevos teoremas en el lenguaje original; tal extensión cambia el contenido de la teoría sobre los temas originales y puede emplearse para resolver oraciones previamente independientes.

Límite

La conservatividad es una afirmación sobre oraciones en el lenguaje base; no dice nada sobre nuevos teoremas que mencionen símbolos añadidos. Presupone un lenguaje base fijo y no se aplica automáticamente cuando la firma de la extensión altera lo que se cuenta como 'oración original'.

Tensión semántica

Hay tensión entre extensión conservadora y extensión definicional: todas las extensiones definicionales son conservadoras, pero no toda extensión conservadora es definicional. También existe tensión con la interpretabilidad: una extensión interpretable puede ser o no conservadora según cómo afecte la interpretación a las oraciones del lenguaje original.

Síntesis

Una extensión conservadora enriquece una teoría con nuevos instrumentos garantizando que no se vuelvan demostrables afirmaciones adicionales sobre el vocabulario original; formaliza la intuición de enriquecimiento notacional o metodológico seguro que no altera las consecuencias básicas.