Un ordinal (a menudo presentado mediante un sistema de notaciones) que mide la fuerza prueba-teórica de una teoría formal, típicamente definido como el supremo de los ordinales para los cuales la teoría puede demostrar inducción transfinitista o la bien-foundedness de los sistemas de notación correspondientes.

Principio

Un ordinal prueba-teórico calibra hasta qué punto una teoría puede llevar a cabo ciertos tipos de razonamiento transfinitista: ordinales mayores corresponden a mayor capacidad para justificar formas de inducción o demostrar la bien-foundedness de órdenes recursivos más complejos.

Demostración

La Aritmética de Peano (PA) tiene ordinal prueba-teórico ε0: PA prueba la inducción transfinitista para todos los ordinales por debajo de ε0 (representados en una notación adecuada), pero no puede probar la bien-foundedness ni la inducción completa hasta ε0 en sí; teorías más fuertes tienen ordinales mayores.

Aplicación incorrecta

Leer el ordinal prueba-teórico como un ordinal absoluto de la teoría de conjuntos independiente de elecciones de notación, o como la misma medida de fuerza usada en comparaciones model-teóricas; las notaciones ordinales y las decisiones de formalización influyen en el ordinal asignado.

Consecuencia

Los ordinales prueba-teóricos permiten comparar con precisión la fuerza deductiva de teorías, guían el diseño de análisis ordinales y pruebas de consistencia, y muestran qué principios transfinitos puede justificar una teoría.

Inversión

No poder asignar un ordinal prueba-teórico significativo a una teoría ocurre cuando la teoría no es recursivamente presentable o cuando no se fija un sistema aceptable de notaciones ordinales; la fuerza de consistencia model-teórica es una noción distinta, a menudo no comparable.

Límite

Se define primordialmente para teorías recursivamente presentables y en relación con sistemas de notación ordinal y codificaciones formales elegidos; excluye medidas puramente semánticas o no constructivas de fuerza y depende de elecciones técnicas.

Tensión semántica

Existe tensión entre ver el ordinal como una medida intrínseca de la capacidad de una teoría y reconocer su dependencia en las notaciones ordinales constructivas y el marco de prueba escogido; las fuerzas prueba-teóricas y model-teóricas pueden divergir.

Síntesis

Un ordinal prueba-teórico es una cota ordinal constructiva que resume la inducción transfinitista y la bien-foundedness que una teoría puede certificar; proporciona una regla técnica y afinada para comparar el alcance deductivo de los sistemas formales, aunque depende de la notación y la formalización elegidas.