La ocurrencia generalizada en sistemas formales lo bastante expresivos de que existen enunciados verdaderos sobre las estructuras pretendidas que no son demostrables en esos sistemas; engloba resultados como los teoremas de incompletitud de Gödel y otras limitaciones de la formalización.

Principio

Cuando un sistema es suficientemente expresivo para codificar aritmética básica, es recursivamente axiomizable y consistente, no puede ser a la vez completo (probar toda verdad) y efectivamente axiomizable; la autorreferencia y la diagonalización producen enunciados que el sistema no puede demostrar si es consistente.

Demostración

El primer teorema de incompletitud de Gödel construye, para toda teoría consistente y recursivamente axiomizable que extienda una aritmética mínima, una sentencia que dice esencialmente 'esta sentencia no es demostrable en la teoría' y por tanto es verdadera pero indemostrable en esa teoría.

Aplicación incorrecta

Afirmar que el fenómeno de incompletitud hace que las matemáticas sean inútiles o que el razonamiento formal no sea fiable; la incompletitud solo limita ciertos tipos de captura formal y deja vastas áreas de la matemática formalmente manejables.

Consecuencia

La incompletitud obliga a reconocer los límites de los sistemas formales individuales, motiva el estudio de teorías más fuertes, la metateoría y pruebas de consistencia relativa, y legitima la selección cuidadosa de axiomas adicionales cuando es necesario.

Inversión

La completitud (en el sentido de que una teoría demuestre toda verdad de una estructura especificada) aparece en entornos más débiles o diferentes (p. ej., teorías completas, lógicas proposicionales decidibles); los teoremas de completitud para la lógica de primer orden tratan sobre la consecuencia semántica, no sobre la completitud de teorías aritméticas.

Límite

El fenómeno requiere suficiente potencia expresiva (típicamente la capacidad de representar funciones primitivas recursivas y diagonalizar); no se aplica a sistemas débiles que carecen de esa expresividad ni a semánticas que no fijan modelos intencionales.

Tensión semántica

Existe tensión entre la incompletitud al estilo Gödel y resultados como los de Tarski/Church/Completitud — entre los límites de las teorías formales para capturar la verdad aritmética y la completitud de la lógica de primer orden como sistema de prueba para la consecuencia semántica.

Síntesis

El fenómeno de incompletitud identifica una brecha inherente entre verdad y demostrabilidad formal en teorías lo bastante ricas: las construcciones autorreferenciales producen sentencias verdaderas pero indemostrables, impulsando el desarrollo de axiomas más fuertes y la comprensión metamatemática.