Propiedad de un conjunto de enunciados a partir del cual puede derivarse una contradicción según la relación de consecuencia dada, o equivalentemente de una teoría que prueba tanto una fórmula como su negación.

Principio

Una teoría es inconsistente si la relación de consecuencia produce tanto φ como ¬φ para alguna φ; en la lógica clásica esto suele implicar trivialidad (explosión), aunque lógicas alternativas pueden bloquear la explosión.

Demostración

En un sistema deductivo, si a partir de axiomas A se puede derivar tanto p como ¬p, entonces A es inconsistente; por ejemplo, añadir los axiomas {p, ¬p} a cualquier teoría la vuelve inconsistente y permite derivar oraciones arbitrarias en sistemas clásicos.

Aplicación incorrecta

Igualar insatisfacibilidad semántica con inconsistencia sin referirse a la relación de consecuencia: un conjunto puede ser semánticamente insatisfacible pero no mostrar una contradicción sintáctica en un sistema de prueba incompleto.

Consecuencia

La inconsistencia compromete la inferencia fiable: en las lógicas clásicas conduce a la explosión, donde cualquier enunciado se vuelve derivable, forzando revisión de axiomas o la adopción de estrategias paraconsistentes para continuar razonando.

Inversión

La consistencia es la inversión: un conjunto consistente no produce contradicciones; examinar subconjuntos inconsistentes mínimos (núcleos insatisfacibles) invierte el diagnóstico para localizar axiomas problemáticos.

Límite

La inconsistencia se define respecto de la relación de consecuencia y la lógica elegida; las lógicas paraconsistentes, de relevancia o los sistemas de prueba restringidos modifican si una contradicción derivada colapsa la teoría.

Tensión semántica

Inconsistencia vs insatisfacibilidad: la inconsistencia es la derivabilidad sintáctica de una contradicción, mientras que la insatisfacibilidad es la ausencia semántica de modelos; coinciden en marcos correctos y completos, pero difieren en la práctica.

Síntesis

La inconsistencia señala una teoría de la que siguen contradicciones según su relación de consecuencia; indica la necesidad de reparación, limita la inferencia confiable e interactúa con la insatisfacibilidad semántica y la elección de lógica.