Una familia de algoritmos de optimización que recorren el interior de la región factible, usando funciones barrera, sistemas primal-duales o estrategias de seguimiento de trayectoria para aproximarse a soluciones óptimas sin visitar explícitamente los vértices.

Principio

Reemplazar restricciones duras por términos barrera suaves o resolver sistemas KKT primal-duales acoplados de modo que los iterados permanezcan estrictamente factibles y sigan una trayectoria central hacia la optimalidad con actualizaciones de paso controladas.

Demostración

Resolver un problema cuadrático añadiendo términos barrera logarítmicos a las desigualdades, calcular pasos de Newton para el sistema aumentado por la barrera, reducir el parámetro de barrera y repetir hasta cumplir las condiciones de optimalidad.

Aplicación incorrecta

Usar pasos de puntos interiores sin mantener el acondicionamiento numérico (resoluciones lineales pobres o control insuficiente de la reducción de la barrera) puede producir iterados inexactos o estancarse lejos de la solución óptima.

Consecuencia

Ofrece garantías de tiempo polinómico para muchos problemas convexos, produce aproximaciones primales y duales de alta calidad y escala bien para instancias grandes y dispersas cuando se implementa con álgebra lineal robusta.

Inversión

Contrasta con métodos que siguen la frontera de forma combinatoria (p. ej., simplex): los métodos de puntos interiores evitan cambios explícitos de base y cambian movimientos combinatorios por resoluciones continuas no lineales.

Límite

Aplicable principalmente a programas convexos (lineales, cuadráticos, cónicos); los problemas no convexos pueden recibir solo soluciones locales y requieren estrategias de globalización o heurísticas.

Tensión semántica

Tensión respecto al enfoque simplex sobre esparcidad y arranque en caliente: simplex ofrece warm starts y soluciones extremas escasas, mientras que los puntos interiores enfatizan progreso suave y iterados con frecuencia más densos.

Síntesis

Los métodos de puntos interiores replantean la optimización convexa como el seguimiento de una trayectoria continua dentro del conjunto factible: mantener la factibilidad estricta vía barrera o condiciones primal-duales y avanzar con actualizaciones tipo Newton hacia la optimalidad.