Técnica numérica que aproxima derivadas reemplazándolas por cocientes de diferencias algebraicas evaluados en una malla discreta de puntos, produciendo ecuaciones algebraicas que aproximan ecuaciones diferenciales.

Principio

Sustituir derivadas continuas por operadores de diferencia discretos cuyo error de truncamiento, junto con las propiedades de estabilidad del esquema resultante, determina la convergencia a la solución continua.

Demostración

Resolver la ecuación del calor unidimensional reemplazando ∂²u/∂x² por la diferencia central (u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})/Δx² para obtener un sistema de EDO o ecuaciones algebraicas según la discretización temporal.

Aplicación incorrecta

Aplicar una discretización explícita ingenua con un paso de tiempo demasiado grande que viole la condición de estabilidad (CFL), produciendo explosión numérica u oscilaciones no físicas.

Consecuencia

Genera sistemas algebraicos dispersos o sistemas de EDO cuya solución aproxima valores puntuales del campo continuo; el error depende del orden de la diferencia y del espaciado de la malla.

Inversión

En lugar de aproximar derivadas en puntos, adoptar una formulación integral o débil (volúmenes finitos o elementos finitos) que imponga conservación o continuidad débil en lugar de aproximaciones puntuales de derivadas.

Límite

Se aplica principalmente a problemas cuya geometría del dominio y condiciones de contorno son compatibles con mallas estructuradas o lógicamente rectangulares; los estencils directos de diferencias son menos apropiados en dominios muy irregulares o mallas no estructuradas sin adaptación.

Tensión semántica

Compite con métodos de volumen finito (énfasis en el balance de flujos entre volúmenes de control) y métodos de elementos finitos (formularios débiles); las diferencias finitas enfatizan la aproximación puntual y local de derivadas con estencils compactos.

Síntesis

Un enfoque sencillo basado en malla para convertir operadores diferenciales en operadores de diferencia: fácil de implementar en mallas regulares, regido por error de truncamiento y estabilidad, pero limitado por la geometría y requisitos de conservación salvo adaptación.