Un método iterativo para hallar raíces o resolver problemas no lineales que utiliza la linealización local mediante la derivada (unidimensional) o el jacobiano (multidimensional) para actualizar aproximaciones resolviendo ecuaciones lineales en cada paso.

Principio

La regla organizadora es aproximar el mapeo no lineal por su expansión de Taylor de primer orden alrededor del iterado actual y tomar la raíz de esa aproximación lineal como el siguiente iterado, lo que conduce a convergencia cuadrática local cuando el jacobiano es no singular y la conjetura inicial está suficientemente cerca.

Demostración

Resolver F(x)=0 para un sistema de ecuaciones no lineales iterando x_{k+1} = x_k − J_F(x_k)^{-1} F(x_k); para un escalar f con raíz simple, la actualización es x_{k+1}=x_k − f(x_k)/f'(x_k), que converge rápidamente si la derivada en la raíz no es cero.

Aplicación incorrecta

Usar el método de Newton con una mala aproximación inicial puede llevar a divergencia, ciclos o convergencia a una raíz no deseada; aplicarlo cuando el jacobiano es singular o casi singular provoca inestabilidad; omitir regularización o amortiguamiento en contextos mal condicionados es peligroso.

Consecuencia

Cuando es aplicable, el método de Newton ofrece convergencia local muy rápida (cuadrática) y refinamiento preciso de raíces; es la base de muchos solucionadores no lineales y esquemas implícitos de paso temporal cuando se acompaña de solucionadores lineales robustos y estrategias de globalización.

Inversión

La perspectiva inversa se basa únicamente en métodos de primer orden (gradiente o iteraciones de paso fijo) que evitan resolver sistemas lineales y solo tienen convergencia lineal, o en buscadores de raíces sin derivadas que cambian velocidad por robustez.

Límite

Requiere diferenciabilidad del mapeo y un jacobiano invertible en la raíz (o pseudo-inversas apropiadas); la convergencia global no está garantizada sin búsqueda en línea, región de confianza u otras técnicas de globalización; excluye problemas no diferenciables salvo variantes no suaves.

Tensión semántica

Existe tensión entre métodos tipo Newton y métodos quasi-Newton o de la secante: Newton usa jacobianos exactos para mayor velocidad local pero a mayor coste por iteración y sensibilidad; los quasi-Newton sacrifican algo de velocidad asintótica por mayor robustez y actualizaciones más económicas.

Síntesis

El método de Newton linealiza el problema no lineal en cada iterado, resuelve la aproximación lineal y actualiza la solución; su potencia reside en la rápida convergencia local cuando hay derivadas disponibles y bien condicionadas, requiriendo en la práctica globalización y regularización.