Una aplicación desde un espacio de funciones hacia los números reales o complejos (o más generalmente hacia un cuerpo), que a menudo representa una evaluación, coste o cantidad a optimizar en problemas variacionales.

Principio

Comprimir información sobre funciones enteras en resúmenes escalares mediante aplicaciones lineales o no lineales sensibles a propiedades globales (integrales, supremos, valores en la frontera), posibilitando cálculo de variaciones y dualidad.

Demostración

La aplicación I[f] = ∫_0^1 f(x)^2 dx definida sobre L^2(0,1) es una funcional (no lineal) que da la norma al cuadrado en L^2; la evaluación f ↦ f(x0) es una funcional lineal en espacios de funciones continuas en x0 fijo.

Aplicación incorrecta

Confundir una funcional con una función ordinaria (mapa de R o R^n) conduce a errores de categoría: tratar el argumento como un punto en lugar de como una función entera invalida nociones de derivada como la de Gateaux o Fréchet.

Consecuencia

El uso correcto de funcionales permite formular y resolver problemas variacionales, derivar condiciones de Euler–Lagrange y construir problemas duales y teoremas de representación en espacios con núcleo reproducing.

Inversión

La inversión es una función puntual: un objeto que asigna valores a puntos del dominio en lugar de a funciones completas; de forma análoga, un operador que manda funciones a funciones desempeña el papel estructural opuesto a una funcional con salida escalar.

Límite

Se aplica a aplicaciones cuyo dominio es un espacio de funciones con topología o estructura algebraica especificada; excluye funciones definidas punto por punto y operadores cuyo codominio sea un espacio de funciones, salvo si se componen con una evaluación para obtener un escalar.

Tensión semántica

Tensión entre funcionales y operadores lineales: ambos actúan sobre espacios de funciones pero difieren en el codominio (escalares vs funciones); además, el término coincide parcialmente con usos en programación cuya semántica es distinta.

Síntesis

Una funcional es una medida con valor escalar sobre un espacio de funciones que captura propiedades globales para análisis y optimización; su sentido depende de la estructura del dominio y de las exigencias de regularidad para diferenciación y dualidad.