Eine Familie formaler Logiken, die propositionale oder prädikatenlogische Kalküle um modale Operatoren (z. B. □ für Notwendigkeit und ◇ für Möglichkeit) erweitern, um Modi der Wahrheit relativ zu Punkten eines Modells mit einer Zugriffrelation auszudrücken.

Prinzip

Einführung modaler Operatoren, die Wahrheit dadurch qualifizieren, dass Bewertungsstellen durch eine relationale Semantik (Kripke-Semantik) verbunden werden: □φ ist in einer Welt genau dann wahr, wenn φ in allen zugänglichen Welten gilt; ◇φ gilt, wenn φ in wenigstens einer zugänglichen Welt gilt.

Demonstration

In einem Kripke-Rahmen, der Wissen modelliert, stehen Welten für epistemische Zustände von Agenten und die Zugriffrelation für Ununterscheidbarkeit; □p besagt dann, dass die Aussage p in allen ununterscheidbaren Zuständen bekannt ist, etwa zur Überprüfung, dass alle mit den Beweisen verträglichen Überzeugungen p implizieren.

Fehlanwendung

Modale Operatoren als gewöhnliche Quantoren über Individuen zu behandeln (z. B. □ als universellen Quantor zu lesen), wodurch die Abhängigkeit von der Zugriffrelation verloren geht und modale Schlussfolgerungen nicht mehr gelten.

Konsequenz

Richtig angewendet macht die Modallogik explizit, wie Wahrheit von alternativen Zuständen oder Perspektiven abhängt, und ermöglicht die formale Analyse von Notwendigkeit, Möglichkeit, Wissen, Verpflichtung und anderen modalen Begriffen in einem einheitlichen semantischen Rahmen.

Umkehrung

Die Umkehr ist die gewöhnliche propositionale oder prädikatenlogische Logik ohne modale Operatoren, in der Wahrheit in einer festen Interpretation absolut ist und es keine strukturierte Vorstellung alternativer Bewertungsstellen gibt.

Abgrenzung

Die Modallogik, wie hier definiert, setzt relationale Semantik voraus und erfasst ohne Erweiterung keine quantitativen Unsicherheiten, Dauern oder Wahrscheinlichkeiten; spezifische modale Systeme (K, S4, S5, deontisch, epistemisch) fügen Axiome hinzu, die gültige Schlüsse verändern.

Semantische Spannung

Sie steht in Spannung mit quantifizierten Semantiken und nicht-relationalen Ansätzen (algebraisch oder proof-theoretisch); die Spannung entsteht durch verschiedene Lesarten von □ als metaphysische Notwendigkeit, epistemische Gewissheit, deontische Verpflichtung oder Beweisoperator, die unterschiedliche Beschränkungen der Zugriffrelation erfordern.

Synthese

Modallogik ist der formale Mechanismus, der klassische Kalküle um Operatoren erweitert, die über ein Netz alternativer Bewertungsstellen interpretiert werden, und verschiedene Modalitäten (Notwendigkeit, Möglichkeit, Wissen, Verpflichtung) durch Explizitmachung der Struktur dieser Alternativen mittels einer Zugriffrelation erfasst.