Ein Satz der algebraischen Zahlentheorie, der die natürliche Dichte der rationalen Primzahlen bestimmt, deren Frobenius-Konjugationsklasse in der Galoisgruppe einer endlichen galoisschen Erweiterung zu einer vorgegebenen Konjugationsklasse gehört; die Dichte ist |C|/|G|, wobei C die Konjugationsklasse und G die Galoisgruppe ist.

Prinzip

Beim Durchlaufen der Primzahlen sind die Frobenius-Elemente äquidistribuiert über die Konjugationsklassen der Galoisgruppe, mit Häufigkeit proportional zur Klassengröße |C|/|G| bezüglich der natürlichen Dichte.

Demonstration

Für eine quadratische Erweiterung K/Q mit Galoisgruppe der Ordnung 2 spalten Primzahlen oder bleiben träge entsprechend Frobenius = Identität oder dem nichttrivialen Element, sodass jede Spaltungsart natürliche Dichte 1/2 hat; bei zyklischen Erweiterungen stimmt der Anteil der Primzahlen mit Frobenius in einer gegebenen Klasse mit dem erwarteten Verhältnis überein.

Fehlanwendung

Den Satz auf nicht-galoissche Erweiterungen anzuwenden, auf endliche Mengen von Primzahlen ohne Dichteschranke oder effektive Fehlerabschätzungen zu behaupten ohne passende analytische Voraussetzungen ist falsch.

Konsequenz

Man kann Primzahlen mit vorgeschriebenem Zerlegungstyp zählen, statistische Eigenschaften von Primzahlen mit gruppentheoretischen Invarianten verbinden und viele klassische Verteilungen (einschließlich Dirichlets Satz) als Spezialfälle herleiten.

Umkehrung

Statt Gruppeninformationen zur Vorhersage der Primverteilung zu verwenden, kann man aus beobachteten Zerlegungshäufigkeiten Rückschlüsse auf die Galoisgruppe ziehen; das Vorkommen bestimmter Zerlegungstypen gibt Hinweise auf Untergruppensysteme.

Abgrenzung

Voraussetzung ist eine endliche galoissche Erweiterung von Zahlkörpern und die Verwendung der natürlichen (Dirichletschen) Dichte von Primzahlen; der Satz liefert keine selbständigen effektiven Fehlerterme und muss für nicht-galoissche oder unendliche Erweiterungen angepasst werden.

Semantische Spannung

Wird oft mit Dirichlets Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen (ein Spezialfall) oder mit anderen Äquidistributionsaussagen verwechselt; die Spannung liegt zwischen der gruppentheoretischen und der rein analytischen Sicht der Primverteilung.

Synthese

Chebotarev verknüpft die algebraische Struktur einer Galoisgruppe mit der asymptotischen Häufigkeit von Zerlegungstypen der Primzahlen und liefert die konkrete Proportionalitätsregel |C|/|G|, die Konjugationsdaten in analytische Dichtenaussagen übersetzt.