Eine Charakterisierung, die besagt, dass eine Teilalgebra A von C(X), den reellwertigen stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum X, dicht in der Einheitsnorm ist genau dann, wenn A die Konstanten enthält und die Punkte von X trennt (mit zusätzlicher *-Abgeschlossenheit im komplexen Fall).

Prinzip

Algebraische Erzeugung unter punktweisen Operationen zusammen mit der Fähigkeit, Punkte zu trennen (und Konstanten zu enthalten), genügt, um jede stetige Funktion auf Kompakten gleichmäßig zu approximieren; die Topologie von X und algebraische Erzeuger bestimmen die Approximationskraft.

Demonstration

Weierstrass' klassischer Satz ist der Spezialfall auf einem Intervall: Polynome bilden eine Algebra auf [a,b], enthalten Konstanten und trennen Punkte, daher sind Polynome dicht in C([a,b]) bezüglich der Supremumsnorm; Stone verallgemeinert dieses Kriterium auf beliebige kompakte Hausdorff-Räume und Teilalgebren.

Fehlanwendung

Annahme der Dichte, obwohl die Teilalgebra die Punkte nicht trennt, keine Konstanten enthält oder im komplexen Fall nicht unter komplexer Konjugation geschlossen ist; Annahme, der Satz gelte für nicht-kompakte Räume oder außerhalb des Kontextes der einheitlichen Norm.

Konsequenz

Lieferte fundamentale Approximationsresultate: Polynome, trigonometrische Polynome und andere konkrete Algebren approximieren stetige Daten gleichmäßig, was spektrale Approximation, Funktionalkalkül und konstruktive Approximation in der Analyse ermöglicht.

Umkehrung

Gelingen die Trennungs- oder Konstantenbedingungen nicht, so ist die Algebra nicht dicht und es existieren stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig approximiert werden können; auch kann Nicht-Kompaktheit die Gleichmäßigkeitsapproximation ohne zusätzliche Bedingungen verhindern.

Abgrenzung

Erfordert einen kompakten Hausdorff-Raum als Definitionsbereich und die uniforme Supremumsnorm; Unterschiede bestehen zwischen reellen und komplexen Versionen (die letztere verlangt *-Invarianz), und der Satz lässt sich nicht ohne Weiteres auf nicht-kompakte oder nicht-Hausdorff-Räume übertragen.

Semantische Spannung

Verwandt mit anderen Approximationssätzen (Muntz, Runge, Korovkin) mit unterschiedlichen Hypothesen und Schlüssen; Spannung besteht zwischen algebraischen Erzeugerbedingungen und analytischen Approximationsanforderungen in verschiedenen Funktionsräumen.

Synthese

Stone–Weierstrass vereinigt und verallgemeinert polynomiale Approximation, indem es aussagt, dass eine Algebra stetiger Funktionen, die Konstanten enthält und Punkte trennt (im komplexen Fall *-invariant ist), auf einem kompakten Hausdorff-Raum gleichmäßig dicht ist und so algebraische Erzeugung mit analytischer Approximation verbindet.