Eine Transformation zwischen syntaktischen Systemen, Formelmenge oder Modellen, die die logische Folgerung bewahrt: Immer wenn eine Formel aus einer Menge Prämissen in der Quelle folgt (Γ ⊨ φ oder Γ ⊢ φ), so folgern die Bilder dieser Prämissen das Bild der Konklusion im Ziel (mapped(Γ) ⊨ mapped(φ) oder mapped(Γ) ⊢ mapped(φ)).

Prinzip

Folgerungserhaltung bedeutet, dass die Abbildung die jeweils relevanten Folgerungsrelationen respektiert (semantisches Entailment oder syntaktische Herleitbarkeit). Typischerweise verlangt sie, dass Beweise oder semantische Entailments in der Quelle in Beweise oder Entailments im Ziel übersetzt werden können, oft durch eine mechanisch spezifizierte Abbildung von Regeln und Formeln.

Demonstration

Eine syntaktische Übersetzung, die jede Inferenzregel eines Beweissystems in ein in einem anderen System ableitbares Schema überführt, stellt eine folgerungserhaltende Abbildung dar; etwa eine Einbettung eines Kalküls in einen anderen, die Quellbeweise in Zielbeweise umwandelt, erhält die Folgerung im syntaktischen Sinne.

Fehlanwendung

Anzunehmen, Folgerungserhaltung impliziere Wahrheitserhaltung einzelner Formeln, oder die Erhaltung klassischer Folgerung mit der Erhaltung nichtmonotoner oder widerlegbarer Folgerungsrelationen zu verwechseln, ohne die Ziel‑Folgerungsnotion zu prüfen.

Konsequenz

Folgerungserhaltende Abbildungen ermöglichen den Transfer von Theoremen, Beweisaufgaben und Korrektheitsargumenten zwischen Formalismen; sie unterstützen modulares Schließen, Wiederverwendung von Herleitungen und das Establishment von Konservativitäts‑ oder Einbettungsergebnissen zwischen Systemen.

Umkehrung

Die Umkehridee ist Folgerungsreflexion: Wenn mapped(Γ) folgert mapped(φ) impliziert Γ folgert φ, dann reflektiert die Abbildung Folgerungen, und wenn beides gilt, ergibt sich Folgerungsäquivalenz zwischen Quelle und Ziel.

Abgrenzung

Gilt nur in Bezug auf die spezifizierte Folgerungsnotion (semantisch vs. syntaktisch, monoton vs. nichtmonoton); sie kann erfordern, das Zielbeweissystem anzupassen oder Prämissen anzureichern, um Vollständigkeit wiederherzustellen, und schließt Abbildungen aus, die lediglich Erfüllbarkeit oder Einzelformula‑Wahrheit, nicht jedoch Entailment von Mengen erhalten.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Folgerungserhaltung und beweistheoretischen Beschränkungen: Eine Abbildung mag Entailment erhalten, aber die Beweislänge oder -komplexität stark erhöhen, oder Entailment nur erkaufen durch Änderung der beabsichtigten Beweissemantik (z. B. klassisch zu konstruktiv).

Synthese

Eine folgerungserhaltende Abbildung ist eine strukturwahrende Übersetzung, die logische Folgerungen von einer Quelle in ein Ziel transportiert und so einen korrekten Transfer von Herleitbarkeit und Theoremstatus ermöglicht, wobei klar zu spezifizieren ist, welche Folgerungsrelation bewahrt wird.