Die modelltheoretische Eigenschaft einer Theorie oder Struktur, dass jeder vollständige Typ über der leeren Menge (oder einer gegebenen Parametersprache) durch eine einzelne Formel isoliert ist; mit anderen Worten: jedes Tupel hat einen isolierten Typ.

Prinzip

Isolation von Typen: syntaktische Formeln können das Verhalten von Tupeln so genau festlegen, dass die Realisierung eines Typs durch eine Formel bezeugt wird, die innerhalb der betrachteten Theorie den Typ impliziert.

Demonstration

Eine abzählbare Struktur M ist atomar, wenn für jedes endliche Tupel a aus M eine Formel φ(x) ohne Parameter existiert mit M ⊨ φ(a) und so dass jede Realisierung von φ in einem Modell der Theorie denselben vollständigen Typ wie a hat. Abzählbare atomare Modelle dienen oft als primäre oder minimale Realisierungen einer vollständigen Theorie.

Fehlanwendung

Die modelltheoretische Atomarität mit anderen Bedeutungen von 'atomar' verwechseln (beispielsweise atomare Operationen in Datenbanken oder Atome in Booleschen Algebren) oder Atomarität allein aus einer kleinen Anzahl von Modellen folgern, ohne die Isolation aller Typen zu überprüfen.

Konsequenz

Atomarität liefert starke Kontrolle über Einbettungen und Automorphismen (z. B. sind abzählbare atomare Modelle oft primär und bis auf Isomorphie eindeutig), vereinfacht die Beschreibung definierbarer Mengen und erlaubt in abzählbaren Fällen eine effektive Aufzählung der Typen.

Umkehrung

Nicht-atomare Theorien besitzen nicht-isolierte Typen; sie können Modelle zulassen, die bestimmte vollständige Typen auslassen, und bieten vielfältigere oder pathologische Realisierungen von Tupelverhalten, die atomare Theorien ausschließen.

Abgrenzung

Atomarität ist eine Eigenschaft innerhalb der erstordentlichen Modelltheorie (oder einer gewählten Logik) und bezieht sich auf vollständige Typen bezüglich einer festen Sprache und Parameterbasis; sie schließt Aussagen über höherordentliche Isolation, Berechenbarkeit oder umgangssprachliche Verwendungen des Wortes 'atomar' aus.

Semantische Spannung

Steht in Spannung zu Begriffen wie 'prim' und 'gesättigt': Atomare Modelle sind oft prim, aber nicht notwendigerweise gesättigt, weshalb die Intuition 'atomar = minimal = wohlgeordnet' gegenüber anderen modelltheoretischen Kriterien wie Sättigung und Homogenität relativiert werden muss.

Synthese

Atomarität bedeutet, dass die syntaktischen Mittel der Theorie ausreichen, um jedes vollständige Verhalten von Tupeln zu isolieren; das führt zu kanonischen, häufig minimalen Modellen, deren definierbare Struktur von isolierenden Formeln bestimmt wird und unterscheidet diesen präzisen modelltheoretischen Begriff von anderen Anwendungen des Begriffs 'atomar'.