Der formale Vorgang, eine prädikatenlogische Sprache zu erweitern, indem neue Relationssymbole für bereits in der Ausgangssprache definierbare Mengen und Relationen hinzugefügt werden, zusammen mit Axiomen, die jedes neue Symbol mit der definierenden Formel gleichsetzen. Die Erweiterung macht Definierbarkeit in der Signatur explizit und bleibt eine definitionsmäßige, konservative Erweiterung, soweit anwendbar.

Prinzip

Für jede Äquivalenzklasse von Formeln, die dieselbe Relation definieren, ein neues Symbol einführen und Axiome hinzufügen, die das Symbol mit der definierenden Formel identifizieren; die Erweiterung als konservative definitionsmäßige Erweiterung behandeln, sodass Beweisbarkeit in der Ausgangssprache erhalten bleibt.

Demonstration

Ausgehend von einer Sprache L und einer Familie von L-Formeln {φ(x) : φ definiert eine Eigenschaft von Tupeln} bilde man L' = L ∪ {R_φ : je ein neues Relationssymbol pro φ} und füge Axiome ∀x (R_φ(x) ↔ φ(x)) hinzu. Eine Theorie T in L erhält so eine konservative Erweiterung T' in L', in der jedes R_φ die durch φ definierbare Menge benennt.

Fehlanwendung

Willkürliche Prädikate hinzufügen, ohne Axiome zu geben, die sie mit definierbaren Formeln verknüpfen, oder annehmen, dass die Hinzufügung von Symbolen für nicht definierbare Klassen Konservativität bewahrt. Morleyisierung nicht mit beliebiger nichtkonservativer Sprachaufweitung verwechseln, die Modelle verändert.

Konsequenz

Erleichtert viele modelltheoretische Argumente, indem Fragestellungen der Definierbarkeit zu syntaktischen Fragen über Symbole gemacht werden; erlaubt die einheitliche Verwendung neuer Relationssymbole in Konstruktionen (z. B. EM-Schemata, Indiskernibilien) bei gleichzeitiger Kontrolle der Konservativität.

Umkehrung

Wenn man die hinzugefügten Symbole vergisst (Redukt bildet), kehrt man zur Ausgangssprache zurück; Eigenschaften, die ausschließlich über die neuen Symbole ausgedrückt sind, können im Redukt verloren gehen, obwohl die Erweiterung definitionsmäßig war.

Abgrenzung

Gilt für erstordentliche definierbare Mengen und Relationen (oder explizit gegebene definierbare Familien); sie macht keine wirklich höherstufigen oder nicht definierbaren Phänomene zu benannten Relationen. Konservativität hängt vom Nachweis der Definitionen in der Basistheorie ab.

Semantische Spannung

Steht neben allgemeinen konservativen Erweiterungen: Morleyisierung ist eine spezifische definitionsmäßige Erweiterung, die Formeln zu atomaren Symbolen macht, während andere Erweiterungen andere Gründe für Konservativität haben können; Spannung entsteht bei der Entscheidung, ob eine Relation primitiv oder definiert behandelt werden soll.

Synthese

Morleyisierung ist die gezielte definitionsmäßige Erweiterung, die häufig verwendete definierbare Formeln durch neue Prädikate plus Äquivalenzaxiome ersetzt, wodurch Definierbarkeit in der Signatur explizit wird, der Gehalt der Ursprungstheorie erhalten bleibt und syntaktische sowie kombinatorische Manipulationen erleichtert werden.