Ein Modell, das jeden Typ über Parametersätzen von Kardinalität unterhalb seiner Sättigungskardinalität realisiert; informell ist ein Modell κ-sättigt, wenn es alle Typen über Parametersätze der Größe < κ realisiert, und (vollständig) gesättigt, wenn κ seine eigene Kardinalität ist.

Prinzip

Sättigung fasst die Idee von Vollständigkeit bezüglich Typen zusammen: Ein gesättigtes Modell kann innerhalb seiner Kardinalität nicht durch Hinzufügen von Realisierungen von Typen über kleinen Parametersätzen erweitert werden, weil es bereits alle realisiert.

Demonstration

Ein ω-gesättigtes abzählbares Modell realisiert jeden Typ über endliche Parametersätze; etwa realisiert ein abzählbares gesättigtes Modell einer vollständigen Theorie jeden konsistenten Typ über endliche Parameter und kann daher im abzählbaren Bereich nicht elementar erweitert werden, ohne die Kardinalität zu verändern.

Fehlanwendung

Sättigung mit bloßem Reichtum (vielen Elementen) zu verwechseln oder Sättigung anzunehmen, ohne die Realisierung aller Typen über kleinen Parametersätzen zu prüfen, führt zu Fehlern; ebenso ist die Verwendung von Sättigungsbehauptungen in Kontexten mit ungeeigneter Kardinalarithmetik missbräuchlich.

Konsequenz

Gesättigte Modelle dienen als robuste, stark homogene Universen für die Theorie: Sie erleichtern Back-and-Forth-Argumente, die Klassifikation nach Stabilität und den Transfer struktureller Eigenschaften via elementarer Einbettungen und Automorphismen.

Umkehrung

Ein Prim- oder Atommodell ist das Gegenbild: minimal und stark determiniert, statt maximal in der Realisierung von Typen; Sättigung und Primheit sind häufig orthogonale Begriffe.

Abgrenzung

Definiert relativ zu einem Kardinal κ und anwendbar in der ersten Ordnung Modelltheorie; Sättigung hängt sowohl von der Modellkardinalität als auch vom umgebenden mengen-theoretischen Kontext ab und impliziert nicht von selbst Primheit oder Kategorizität.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Universalität und Spezifität: Sättigung bringt Universalität bezüglich Typen, kann aber feingranulare syntaktische Unterschiede verwischen, die kleinere, spezifischere Modelle (prim oder atomar) bewahren.

Synthese

Ein gesättigtes Modell ist eine struktur, die für ihre Größe maximal viele Typen realisiert: Indem es alle Typen über kleinen Parametersätzen verwirklicht, bietet es eine homogene, extensionell vollständige Umgebung, die zentral für die Klassifikationstheorie und Transferargumente ist.