Ein Modell, in dem jedes endliche Tupel einen atomaren (principal) Typ über der leeren Menge realisiert; äquivalent dazu hat jedes endliche Tupel eine komplette Formel, die seinen Typ isoliert, sodass Typen über ∅ durch einzelne Formeln bestimmt sind.

Prinzip

Atomicität verlangt, dass die Typen der Theorie durch Formeln bezeugt werden: Für jedes endliche Tupel existiert eine Formel, die seinen Typ im Modell eindeutig charakterisiert, wodurch das Modell stark durch syntaktische Informationen bestimmt ist.

Demonstration

In einem abzählbaren atomaren Modell einer vollständigen Theorie erfüllt jedes endliche Tupel eine einzige isolierende Formel; wenn beispielsweise alle 1-Typen durch Formeln isoliert sind, liefert ein abzählbares Modell, das durch Aufzählen der Realisierungen dieser Formeln konstruiert wird, ein atomares Modell.

Fehlanwendung

Ein Modell als atomar zu bezeichnen, weil es wenige Typen hat oder weil Tupel in losem Sinne definierbar sind, ohne die Existenz isolierender Formeln zu prüfen, führt zu Fehlidentifikation der Eigenschaft und kann Klassifikationsargumente verfälschen.

Konsequenz

Atomare Modelle sind syntaktisch gut handhabbar: Ihre Struktur ist eng durch isolierende Formeln kontrolliert, was beim Aufbau von Primmodellen, der Analyse von Automorphismengruppen und in effektiven oder berechenbaren Modelltheorie-Kontexten hilft.

Umkehrung

Ein Modell, das viele nicht-isolierte Typen realisiert oder dessen Typen unendliche Schemata zur Beschreibung erfordern, ist das Gegenteil: stark nicht-atomar und weniger durch einzelne Formeln kontrolliert.

Abgrenzung

Definiert für Theorien der ersten Ordnung und sensitiv gegenüber der Isolation von Typen über der leeren Menge; Atomicität impliziert nicht zwangsläufig Primheit oder Saturation und muss gegenüber den Isolationsbedingungen der Typen geprüft werden.

Semantische Spannung

Spannung zwischen syntaktischer Bestimmtheit und Flexibilität: Atomare Modelle sind starr, weil Formeln Typen isolieren, während nicht-atomare Modelle reichere, nicht-isolierte Verhaltensweisen erlauben, die für Saturations- oder Kategorizitätsphänomene nötig sein können.

Synthese

Ein Atommodell ist eines, dessen endliche Tupel alle durch einzelne Formeln isoliert werden, wodurch das Modell auf endlichen Ebenen syntaktisch bestimmt ist und sich für Konstruktionen eignet, die explizite Typisolierung verlangen.