Ein metalogisches Prinzip, das besagt, dass das Hinzufügen von Prämissen die Menge der logischen Konsequenzen nicht verringern kann: Wenn Γ ⊢ φ, dann gilt für jede Menge Δ von zusätzlichen Prämissen Γ ∪ Δ ⊢ φ. Die Folgerung ist in vielen Standardlogiken monoton.

Prinzip

Informationsanhäufung verengt nur die Klasse der Modelle, daher bleibt jede bereits gefolgerte Aussage auch bei Erweiterung der Prämissen gefolgert; Beweise bleiben unter Hinzufügung weiterer Annahmen gültig.

Demonstration

Aus {A} lässt sich A ableiten. Nach Monotonie gilt auch {A, B} ⊢ A. Allgemeiner: Wenn Γ φ beweist, dann beweist jede Obermenge von Γ ebenfalls φ, zumeist durch denselben oder einen triviale erweiterten Beweis.

Fehlanwendung

Monotonie in nicht-monotonen Rahmen anzunehmen (etwa Default-Logik, Glaubensrevision oder viele Systeme für defeasible Inferenz), in denen das Hinzufügen von Information zuvor gezogene Schlüsse aufhebt, führt zu falschen Erwartungen über die Stabilität von Folgerungen.

Konsequenz

Unterstützt Modularität formaler Theorien und einfache Beweisverwaltung: Man kann eine Theorie erweitern, ohne frühere Herleitungen ungültig zu machen; gleichzeitig verhindert Monotonie die formale Darstellung von defeasiblem oder ausnahmebasiertem Schlussfolgern innerhalb eines monotonen Systems.

Umkehrung

Nicht-monotones Schließen kehrt die Idee um: Hinzufügen von Prämissen kann Folgerungen entfernen. Systeme, die Defaults, Prioritäten oder Glaubensrevision modellieren, verletzen gezielt die Monotonie, um defeasible Inferenz abzubilden.

Abgrenzung

Gilt in klassischer Aussagen- und Prädikatenlogik sowie vielen formalen Systemen, die strukturelle Regeln bewahren; sie versagt oder wird bewusst aufgegeben in nicht-monotonen Logiken, bestimmten konditionalen und Relevanzlogiken und in Kontexten, die Glaubensänderung modellieren.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Monotonie der Folgerung als sauberer mathematischer Eigenschaft und praktischem Schließen, bei dem neue Informationen Schlussfolgerungen ungültig machen können; die formale Bequemlichkeit der Monotonie steht im Konflikt mit der Notwendigkeit, Ausnahmen und veränderliche Überzeugungen darzustellen.

Synthese

Die Monotonie der Folgerung ist das Metaprinzip, dass Beweise und Konsequenzen beim Hinzufügen von Prämissen erhalten bleiben, was Stabilität und Modularität in vielen formalen Logiken bietet, zugleich aber defeasible Muster des Schlussfolgerns ausschließt.