Eine Schlussregel (Fallunterscheidung), die es erlaubt, C aus A ∨ B abzuleiten zusammen mit einem Beweis von C unter Annahme A und einem Beweis von C unter Annahme B. Formal: aus A ∨ B, [A ⇒ C], [B ⇒ C] folgere C.

Prinzip

Wenn eine Schlussfolgerung aus jedem Disjunkt separat folgt und mindestens ein Disjunkt gilt, dann gilt die Schlussfolgerung bedingungsfrei; die Disjunktionselimination überträgt fallweise Konsequenzen auf eine globale Konsequenz.

Demonstration

Gegeben A ∨ B, nehme A an und leite C ab; nehme B an und leite C ab; entlasse dann die Annahmen und schließe C. Beispiel: Aus ‚Es ist sonnig ∨ es ist bewölkt‘ und Beweisen ‚wenn sonnig dann Picknick‘ und ‚wenn bewölkt dann Picknick‘ folgere ‚Picknick‘.

Fehlanwendung

Anwenden der Disjunktionselimination ohne gültige separate Herleitungen für jeden Disjunkt, oder Verwendung bei einer unendlichen bzw. schlecht gebildeten Disjunktion ohne zu zeigen, dass alle Fälle abgedeckt sind; auch missbräuchliche Ableitung fall-spezifischer Informationen, die nicht für alle Fälle gelten.

Konsequenz

Ermöglicht formales Fall-Argumentieren und das Eliminieren von Alternativen, sobald eine gemeinsame Konsequenz gezeigt wurde; zentral für strukturierte Beweise, Pattern Matching in Programmen und Taktiken in Theoremprovern.

Umkehrung

Gegensatz zur Disjunktionseinführung: diese erzeugt aus einer Tatsache eine Disjunktion, während Elimination eine Disjunktion in eine einzige Konsequenz auflöst; eine falsche Umkehr würde versuchen, Disjunkte aus der globalen Konsequenz ohne Begründung abzuleiten.

Abgrenzung

Gilt in klassischen und intuitionistischen Beweissystemen; in konstruktiven Settings müssen explizite Konstruktionen für die Herleitungen aus jedem Disjunkt vorgelegt werden, und in Logiken mit unendlich vielen Disjunkten oder nicht-exklusiven Alternativen ist zusätzliche Sorgfalt erforderlich, die Vollständigkeit der Fälle sicherzustellen.

Semantische Spannung

Spannung zeigt sich zwischen Disjunktionselimination und nicht-deterministischen oder probabilistischen Interpretationen der Disjunktion: Fallbeweise verlangen Abdeckung aller logischen Alternativen, andere Deutungen sehen die Disjunktion eher als vorläufige oder unsichere Wahl.

Synthese

Die Disjunktionselimination ist die Regel, die eine beweisbare Alternative in eine einzige Schlussfolgerung überführt, indem gezeigt wird, dass jeder mögliche Fall diese Schlussfolgerung impliziert; sie operationalisiert das Fall-Argument und ist unverzichtbar, um Fallanalysen zu unbedingten Ergebnissen zusammenzuführen.