Der Prozess, einer Formel unter einer bestimmten Interpretation oder Struktur einen semantischen Wert (typischerweise einen Wahrheitswert) zuzuordnen, indem atomare Formeln rekursiv interpretiert, die Interpretationen von Funktions- und Prädikatsymbolen angewandt und Quantoren bezüglich der Domäne ausgewertet werden.

Prinzip

Symbole in Bezug auf eine gegebene Struktur interpretieren und komplexe Formeln durch Komposition berechnen: Atome auswerten, mittels wahrheitsfunktionaler Junktoren kombinieren und quantifizierte Formeln durch Durchlaufen der Domäne auswerten.

Demonstration

Gegeben eine Struktur mit Domäne N, einem Prädikat Gerade(n), das für gerade Zahlen wahr ist, und der Interpretation des Nachfolgers, überprüft die Auswertung von ∀x (Gerade(x) → Gerade(nachfolger(x))) jedes Element von N, ob die Implikation hält.

Fehlanwendung

Quantoren ohne klar spezifizierte Domäne auszuwerten oder Aritäten von Funktionssymbolen falsch zu interpretieren liefert undefinierte Ergebnisse; ebenso führt das Voraussetzen von Wahrheitsfunktionalität, wo sie nicht gilt, zu fehlerhaften Auswertungen.

Konsequenz

Korrekte semantische Auswertung bestimmt Erfüllungs- und Folgerungsrelationen, ermöglicht das Testen der Zugehörigkeit von Formeln zu Modellen und verbindet syntaktische Beweise mit semantischer Wahrheit durch Korrektheits- und Vollständigkeitssätze.

Umkehrung

Die umgekehrte Sicht fokussiert die beweistheoretische Ableitbarkeit und betrachtet Semantik als sekundär; dort wird Wahrheit aus Beweisbarkeit abgeleitet statt in Modellen berechnet.

Abgrenzung

Betrifft die Auswertung wohlgeformter Formeln relativ zu einer festen Interpretation oder Klasse von Interpretationen; schließt informelle Plausibilitätsurteile und metasprachliche Übersetzungen aus, die kein Modell angeben.

Semantische Spannung

Spannung zwischen lokaler, strukturbezogener Auswertung (Wahrheit in einer bestimmten Struktur) und globaler Bewertung über Modellklassen (Folgerung in allen Modellen); beide Sichtweisen sind für unterschiedliche Konsequenzbegriffe erforderlich.

Synthese

Semantische Auswertung ist die strukturbezogene Berechnung, die Formeln Wahrheitswerte zuweist, indem sie Symbole in einer Struktur interpretiert, über Junktoren komponiert und über die Domäne quantifiziert.