Eine Formel ohne freie Variablen — eine geschlossene wohlgeformte Formel — die eine Aussage über den Diskursbereich trifft und in Bezug auf eine Interpretation oder Struktur einen Wahrheitswert zugewiesen bekommen kann.

Prinzip

Schließe alle freien Variablen (durch Quantifizierung oder Substitution), sodass der Ausdruck eine vollständige Proposition bezeichnet, deren Wahrheitswert relativ zu einem Modell entscheidbar ist und die als Axiom, Theorem oder Anfrage verwendet werden kann.

Demonstration

In der Arithmetik ist die Peano‑Aussage ∀x ∃y (y = x + 1) ein Satz: sie enthält Quantoren, die ihre Variablen binden, und hat in der Standardinterpretation der Zahlen einen Wahrheitswert.

Fehlanwendung

Eine offene Formel wie P(x) als Satz zu bezeichnen und versuchen, ihren Wahrheitswert zu bestimmen, ohne x anzugeben oder zu quantifizieren, wodurch parametrische Ausdrücke mit propositionellen Behauptungen verwechselt werden.

Konsequenz

Sätze sind die Einheiten, auf die Semantik (Wahrheit, Falschheit, Erfüllung) angewendet wird; sie können Theoreme eines formalen Systems sein, in einer Theorie behauptet werden oder an Modellen getestet werden, um Konsistenz und Vollständigkeit zu prüfen.

Umkehrung

Eine offene Formel mit freien Variablen — statt eine Wahrheit über den Bereich auszusagen, definiert sie eine Eigenschaft oder Relation, die durch Werte parametriert ist; die Umkehr verwandelt einen Satz in ein Schema oder Prädikat.

Abgrenzung

Ein Satz ist ein syntaktisches Objekt und benötigt eine Interpretation für einen Wahrheitswert; Beweisbarkeit in einem formalen System und Wahrheit in einer Interpretation sind verschiedene Begriffe, und Sätze ohne definierte Interpretationsbereiche liegen außerhalb des Geltungsbereichs.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Satz als syntaktischer Schließung und Satz als semantisch bewerteter Wahrheit: Eine geschlossene Formel kann syntaktisch ein Satz sein, aber relativ zu einer Theorie unentscheidbar oder unabhängig, was praktische Mehrdeutigkeit schafft.

Synthese

Ein Satz ist eine geschlossene Formel, die eine vollständige Proposition über einen Bereich ausdrückt; durch Eliminieren freier Variablen und Zuweisen einer Interpretation wird sie Gegenstand semantischer Wahrheitsbewertung und formaler Argumentation.