Eine Reihe von Integrations‑durch‑Teile‑Identitäten, die Volumenintegrale mit dem Laplace‑Operator und Gradienten skalare Funktionen mit Oberflächenintegralen der Spuren und Normalableitungen am Rand verknüpfen, gemeinhin als Greensche Identitäten erster, zweiter und dritter Art bezeichnet.

Prinzip

Sie folgen aus dem Divergenzsatz angewandt auf aus skalaren Funktionen und ihren Gradienten konstruierte Vektorfelder; das Umstellen von Volumen‑ und Randtermen liefert Beziehungen, die die Basis für schwache Formulierungen und Randintegralmethoden bilden.

Demonstration

Die zweite Greensche Identität lautet ∫_Ω(u Δv − v Δu) dΩ = ∫_{∂Ω}(u ∂_n v − v ∂_n u) dS; wählt man u als Testfunktion und v als Fundamentalslösung, erhält man integrierte Darstellungen der Lösungen der Poisson‑Gleichung.

Fehlanwendung

Die Anwendung der Greenschen Identitäten ohne ausreichende Glattheit der Funktionen oder des Gebiets oder das Ignorieren nichtstandardmäßigen Randsverhaltens (Singularitäten, Distributionen) kann zu ungültigen Randtermen oder unrechtmäßigen Umformungen führen.

Konsequenz

Stellen das algebraische Rückgrat für die Herleitung schwacher Formulierungen von PDEs, die Feststellung der Selbstadjungiertheit Differentialoperatoren und die Umwandlung von Volumenproblemen in Randintegralgleichungen für numerische Verfahren bereit.

Umkehrung

Die kontrastierende Sichtweise ist, Randintegrale ganz zu vermeiden und rein lokal differenzial zu arbeiten; dies verschleiert globale Randbeiträge, verzichtet jedoch auf kompakte Randdarstellungen, die numerisch nützlich sind.

Abgrenzung

Erfordern entsprechende Regularität der Funktionen (z. B. C^2 im Inneren, Spurregularität) und des Randes für klassische Aussagen; in Sobolev‑Räumen gelten die Identitäten in schwacher Form unter passenden Integrabilitäts‑ und Spurbedingungen.

Semantische Spannung

Grenzt an allgemeinere Integralidentitäten wie den Satz von Stokes und an schwaches/integrations‑durch‑teile in Sobolev‑Räumen; die Spannung liegt zwischen klassischen punktweisen Randtermen und distributionellen/Spurformulierungen.

Synthese

Die Greenschen Identitäten bündeln den Divergenzsatz zu gebrauchstauglichen Beziehungen zwischen Differentialoperatoren und Randdaten und ermöglichen so die Umwandlung lokaler PDE‑Ausdrücke in globale Integral‑ oder Variationsformen, die für Analyse und Numerik wesentlich sind.