Ein Punkt im Definitionsbereich einer mehrwertigen komplexen Funktion, an dem die analytische Fortsetzung entlang geschlossener Schleifen um den Punkt unterschiedliche Werte liefert (nichttriviale Monodromie), sodass in keiner Umgebung, die eine umschließende Schleife enthält, eine einwertige Verzweigung definiert werden kann.

Prinzip

Ein Verzweigungspunkt ist durch nichttriviale Monodromie gekennzeichnet: Das Fortsetzen um den Punkt permutiert Funktionswerte oder Blätter der zugehörigen Riemannschen Fläche und erzwingt die Wahl von Zweigen oder den Übergang zu einer Überlagerungsfläche.

Demonstration

f(z) = sqrt(z) hat in z = 0 einen Verzweigungspunkt, weil die analytische Fortsetzung eines gewählten Quadratwurzwertes entlang eines um 0 geführten Kreises das Vorzeichen ändert; erst nach zwei Umrundungen kehrt der Wert zurück.

Fehlanwendung

Einen Verzweigungspunkt als hebbare Singularität oder gewöhnlichen Punkt zu behandeln und ohne Angabe eines Zweigs einen einwertigen analytischen Wert auf einer durchstochenen Nachbarschaft zu definieren, führt zu Widersprüchen bei der Fortsetzung.

Konsequenz

Das Vorhandensein eines Verzweigungspunkts erzwingt entweder das Entfernen geschlossener Schleifen aus dem Gebiet (Verzweigungsschnitte) oder die Verwendung einer mehrblättrigen Riemannschen Fläche; globale Definitionen und Integrale müssen Monodromie und Zweigwahl berücksichtigen.

Umkehrung

Bleibt die analytische Fortsetzung um den Punkt invariant, so ist der Punkt gewöhnlich (ohne Verzweigung); das Fehlen von Monodromie ist die Umkehrung zur Situation eines Verzweigungspunkts.

Abgrenzung

Verzweigungspunkte betreffen Mehrwertigkeit, die aus algebraischen oder logarithmischen Abhängigkeiten bei Funktionen einer komplexen Variablen entsteht; sie unterscheiden sich von Polen, essentiellen Singularitäten und von Häufungen in mehreren Variablen.

Semantische Spannung

Man muss Verzweigungspunkt und Verzweigungsschnitt unterscheiden: Der Verzweigungspunkt ist die intrinsische Obstruktion, der Schnitt ist eine extrinsische Domain-Wahl zur Vermeidung von Schleifen; ferner ist zu trennen von isolierten Singularitäten, die die Blattstruktur nicht verändern.

Synthese

Ein Verzweigungspunkt ist ein Ort, an dem die analytische Fortsetzung nichttriviale Monodromie einer mehrwertigen Funktion erzeugt; er verlangt Zweige oder eine Überlagerungsfläche, um Einwertigkeit herzustellen, und beeinflusst die Behandlung von Integralen und Fortsetzungen.