Eine Sammlung von Erweiterungssätzen, die besagen, dass ein beschränkter linearer Funktional auf einem Unterraum eines normierten Vektorraums auf den ganzen Raum ohne Normvergrößerung fortgesetzt werden kann; allgemeiner lassen sich lineare Funktionale, die durch ein sublineares Funktional dominiert werden, so erweitern, dass die Dominierung erhalten bleibt.

Prinzip

Lineare Funktionale lassen sich von kleineren auf größere Definitionsbereiche fortsetzen, wobei Norm‑ oder Dominierungsbedingungen bewahrt werden; der Beweis nutzt Konvexität und Zorns Lemma (oder äquivalente Wahlaxiome) in abstrakten Formulierungen.

Demonstration

Konkrete Anwendung: gegeben ein stetiges lineares Funktional auf dem eindimensionalen Unterraum erzeugt von x in einem normierten Raum, liefert Hahn‑Banach eine Erweiterung auf den ganzen Raum mit unveränderter Norm; dies wird benutzt, um einen Punkt von einem abgeschlossenen Unterraum durch ein stetiges Funktional zu trennen.

Fehlanwendung

Anzunehmen, Hahn‑Banach liefere einzigartige Erweiterungen, konstruktive Formeln oder dass in jedem Banachraum normerreichende Funktionale existieren, ist missbräuchlich. Ebenso ist die Anwendung in Rahmen, die das Wahlaxiom ablehnen, problematisch.

Konsequenz

Er erzeugt nichttriviale stetige lineare Funktionale in vielen Räumen, begründet Trennungssätze, Dualitätstheorie und schwache Topologien; er ist ein grundlegendes Werkzeug der Funktionalanalysis und der konvexen Analyse.

Umkehrung

Existierte kein Erweiterungsprinzip, so würden die Dualräume schrumpfen und Trennungsergebnisse versagen; die Umkehrung unterstreicht die Bedeutung von Extensibilität für die Fülle der stetigen Dualräume und geometrische Trennung in unendlichen Dimensionen.

Abgrenzung

Gilt für lineare Funktionale und Sublinearkonditionen auf Vektorräumen über R oder C; verschiedene Versionen verlangen unterschiedliche Voraussetzungen (normierte Räume, lokal konvexe Räume). Er gilt nicht für nichtlineare Operatoren und garantiert nicht die eindeutige algebraische Erweiterung oder konstruktive Darstellung in allen Fällen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der algebraischen Form (die ohne Topologie beweisbar ist) und den analytischen normerhaltenden Versionen (die mit Topologie und Wahlaxiom interagieren) sowie zwischen Existenz von Erweiterungen und deren nichtkonstruktiver Natur.

Synthese

Hahn‑Banach fasst das Prinzip zusammen, dass beschränkte lineare Information auf einem Unterraum kohärent auf den ganzen Raum ausgedehnt werden kann, ohne an Größe zu gewinnen, und bildet so das analytische und geometrische Rückgrat von Dualität und Trennung in der Funktionalanalysis.