Satz, dass jede ganze Zahl größer als Eins als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann und dass diese Zerlegung bis auf die Reihenfolge der Faktoren (und bis auf Einheiten ±1 in Z) eindeutig ist.

Prinzip

Primzahlen fungieren als multiplikative Atome in den ganzen Zahlen; die Existenz wird per Induktion oder durch euklidische Argumente gezeigt, und die Eindeutigkeit folgt aus dem euklidischen Algorithmus oder aus der Eigenschaft, dass ein Primelement ein Produkt nur teilt, wenn es einen Faktor teilt.

Demonstration

Beispiel: 84 = 2^2 × 3 × 7 ist eine Primfaktorzerlegung von 84; keine andere Multimenge von Primzahlen (ohne Beachtung der Reihenfolge) multipliziert zu 84. Die Eindeutigkeit nutzt man, um z. B. ggT und lkg über Primexponenten auszudrücken.

Fehlanwendung

Zu glauben, dieselbe Eindeutigkeit gelte automatisch in anderen Ringen, ohne die eindeutige Faktorisierung zu prüfen (z. B. versagen in manchen Ringen der algebraischen Zahlentheorie die UFD-Eigenschaften), oder Einheiten und Assoziierte bei Faktorisierungen zu übersehen.

Konsequenz

Legt die Grundlage vieler arithmetischer Resultate: wohldefinierte Primexponenten, multiplikative zahlentheoretische Funktionen, grundlegende Eigenschaften von ggT und kgV und die Struktur endlicher abelscher Gruppen über Invariantfaktoren.

Umkehrung

In Ringen ohne eindeutige Faktorisierung scheitert das Analogon: Elemente können zwei verschiedene irreduzible Zerlegungen (bis auf Einheiten) besitzen, sodass die auf Eindeutigkeit beruhenden arithmetischen Folgerungen falsch werden oder angepasst werden müssen.

Abgrenzung

Bezieht sich spezifisch auf die ganzen Zahlen Z (oder allgemein auf eindeutige Faktorisierungsbereiche bei Verallgemeinerung); schließt 0 und ±1 von Primfaktorzerlegung aus und behandelt Primzahlen bis auf Assoziierte — die Reihenfolge ist unerheblich, Einheitmultiplikation gilt als Äquivalenz.

Semantische Spannung

Bezieht sich auf das allgemeinere Konzept der Unique Factorization Domains (UFDs): Der Satz ist der Spezialfall für Z, während Gegenbeispiele in der algebraischen Zahlentheorie die Entwicklung der Idealtheorie und der Klassenkörper motivieren.

Synthese

Der Fundamentalsatz Der Arithmetik besagt, dass Primzahlen die multiplikativen Bausteine der ganzen Zahlen sind und jede Zahl >1 eine eindeutige Zerlegung in diese Atome besitzt, wodurch eine kanonische multiplikative Struktur für die klassische Zahlentheorie entsteht.