Eine universelle Konstruktion, die die beste Approximation eines Funktors F entlang eines Funktors K liefert, nämlich die linke Kan-Erweiterung Lan_K F (kolimitbasiert) oder die rechte Kan-Erweiterung Ran_K F (limitbasiert), charakterisiert durch universelle natürliche Transformationen.

Prinzip

Für Funktoren K: C -> D und F: C -> E ist die Kan-Erweiterung durch die universelle Eigenschaft definiert: Natürliche Transformationen von F nach G∘K (oder von G∘K nach F) korrespondieren eindeutig mit natürlichen Transformationen von Lan_K F nach G (oder von G nach Ran_K F).

Demonstration

Beispiel: Die linke Kan-Erweiterung entlang der Einbettung einer vollen Unterkategorie wird für jeden Punkt als Kolimit über die Komma-Kategorie (K ↓ d) berechnet; konkret entspricht das Erweitern eines Prägarbens von einer Basis zur gesamten Topologie oft einer linken Kan-Erweiterung, die punktweise durch Kolimiten berechnet wird.

Fehlanwendung

Kan-Erweiterungen als punktweise Kolimiten zu behandeln, ohne zu prüfen, ob die Zielkategorie die benötigten Kolimiten besitzt, oder anzunehmen, jede Kan-Erweiterung sei punktweise berechenbar, führt zu falschen Konstruktionen.

Konsequenz

Existiert sie, liefert eine Kan-Erweiterung kanonische Formeln zum Erweitern oder Einschränken von Funktoren, erzeugt in vielen Fällen Adjunktionen und ermöglicht die Berechnung abgeleiteter Funktoren und Coenden mittels universeller Eigenschaften.

Umkehrung

Die Umkehrung tauscht links und rechts: Anstatt entlang K mittels Kolimiten zu erweitern, kann man entlang K einschränken oder die duale Konstruktion betrachten (Ran statt Lan), die Kolimiten durch Limiten und initiale durch terminale universelle Bedingungen ersetzt.

Abgrenzung

Gilt nur im kategorialen Rahmen von Funktoren zwischen Kategorien; die Existenz kann ohne Vollständigkeits-/Kovollständigkeitsannahmen oder geeignete Kleinheitsbedingungen versagen. Es ist keine rein punktmengentheoretische Konstruktion außerhalb von Funktorkategorien.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen der Betrachtung der Kan-Erweiterung als expliziter (Ko-)Limit-Berechnung (punktweise) und als abstrakter universeller Eigenschaft; deren Vermischung ignoriert Existenzbedingungen und Größenfragen.

Synthese

Eine Kan-Erweiterung ist die universelle Bestanpassung eines Funktors entlang eines anderen: konkret berechenbar, wenn die Kategorien die erforderlichen (Ko-)Limiten haben, und abstrakt durch Bijektionen natürlicher Transformationen charakterisiert, die Erweiterungs- und Einschränkungsprobleme lösen.