Eine syntaktische Abbildung von Formeln und Beweisen einer Theorie in eine andere, die darauf abzielt, logische Konsequenz, Beweisbarkeit oder andere strukturelle proof-theoretische Relationen zu erhalten, sodass Ableitungen in der Quelle Ableitungen im Ziel entsprechen.

Prinzip

Eine Übersetzung wird durch eine Regel festgelegt, die jedem Symbol, jeder Formel oder jedem Beweisschritt der Quelltheorie ein Pendant in der Zielsprache zuweist, typischerweise die Konsequenz bewahrend: wenn Γ ⊢_S φ, dann τ(Γ) ⊢_T τ(φ), wobei τ die Übersetzungsfunktion zwischen den Sprachen von S und T ist.

Demonstration

Gödels negative Übersetzung sendet jede klassische Formel auf ein intuitionistisches Gegenstück, indem systematisch Doppelnegationen eingefügt werden; diese Übersetzung bewahrt die Beweisbarkeit im Sinne, dass, wenn die klassische Logik φ beweist, die intuitionistische Logik die übersetzte τ(φ) beweist, wodurch proof-theoretische Informationen zwischen Systemen übertragbar werden.

Fehlanwendung

Anzunehmen, jede Übersetzung, die Theoreme auf Theoreme abbildet, begründe eine Äquivalenz der Theorien. Eine Übersetzung mag Beweisbarkeit in einer Richtung erhalten, ohne invertierbar zu sein oder andere gewünschte Eigenschaften (Komplexität, intendierte Modelle) zu respektieren; sie als volle Äquivalenz zu werten, überschätzt ihre Tragweite.

Konsequenz

Eine treue Übersetzung ermöglicht den Vergleich von Ausdruckskraft und Konsistenzstärke, den Transfer von Beweisen und Konsistenzresultaten sowie die Konstruktion von Interpretationen; sie formalisiert, wie eine Theorie syntaktisch in eine andere eingebettet werden kann.

Umkehrung

Das Scheitern einer Übersetzung ist die Unmöglichkeit, eine systematische Abbildung zu finden, die Konsequenz bewahrt, was auf echte Unvergleichbarkeit der inferenziellen Ressourcen der beiden Theorien oder auf die Notwendigkeit hinweist, die Zielsprache zu verbreitern oder die Übersetzungskriterien zu ändern.

Abgrenzung

Übersetzungen sind syntaktische Werkzeuge und können semantische Eigenschaften wie modelltheoretische Merkmale, intendierte Interpretationen oder Berechnungskomplexität unbewahrt lassen. Die Angemessenheit einer Übersetzung hängt davon ab, welche Erhaltungskriterien verlangt werden (Beweisbarkeit, Konsequenzerhaltung, Modell-Erhalt usw.).

Semantische Spannung

Die Spannung liegt zwischen Übersetzung und Interpretation: Übersetzungen wirken auf syntaktische Objekte und zielen auf Erhaltung der Ableitbarkeit, während semantische Interpretationen auf Modelle und Strukturen wirken; eine Übersetzung kann existieren, ohne dass eine entsprechende modelltheoretische Interpretation vorliegt, und umgekehrt.

Synthese

Theorieübersetzung ist das formale Verfahren, Symbole, Formeln und Beweise von einer Theorie in eine andere abzubilden, um die inferentielle Struktur zu bewahren und somit syntaktischen Vergleich, Einbettung und Transfer von Ergebnissen gemäß den gewählten Erhaltungskriterien zu ermöglichen.