Die Eigenschaft einer Strukturklasse oder einer semantischen Eigenschaft, dass sie durch kein einzelnes effektives (z. B. rekursiv aufzählbares) oder endliches Axiomensystem in einer gegebenen formalen Sprache erfasst werden kann; kein Axiomensystem in dieser Sprache charakterisiert genau die beabsichtigte Klasse.

Prinzip

Wenn die Komplexität oder die expressive Unstimmigkeit zwischen der Eigenschaft und der gewählten Logik eine rekursive oder endliche Axiomatisierung verhindert, ist die Klasse in dieser Logik nicht axiomatisierbar; ein Wechsel der Logik oder das Hinzufügen höherstufiger Ressourcen kann die Axiomatisierbarkeit verändern.

Demonstration

Die Klasse aller endlichen Graphen ist nicht durch erste-Ordnung-Formeln axiomatisierbar, weil Endlichkeit in der Prädikatenlogik erster Stufe nicht definierbar ist; ebenso ist die Menge der wahren arithmetischen Sätze im Standardmodell der Arithmetik nicht rekursiv aufzählbar und daher nicht effektiv axiomatisierbar.

Fehlanwendung

Nicht Axiomatisierbarkeit mit Unentscheidbarkeit einzelner Sätze zu verwechseln; eine Theorie kann nicht axiomatisierbar sein, obwohl einige Entscheidungsprobleme über ihre Mitglieder entscheidbar sind, und umgekehrt.

Konsequenz

Nichtaxiomatisierbarkeit weist auf eine echte expressive Schranke der gewählten Formalismus hin und motiviert entweder stärkere Sprachen (Zweite Ordnung, unendliche Ausdrucksmittel) oder alternative semantische Rahmen, um die beabsichtigte Klasse zu erfassen.

Umkehrung

Axiomatisierbarkeit ist das Gegenteil: Es existiert eine endliche oder effektiv aufzählbare Menge von Axiomen, deren Modelle genau die betrachtete Klasse sind, sodass eine einzige Theorie die Eigenschaft erfassen kann.

Abgrenzung

Der Begriff hängt von der zugrunde liegenden Logik (erste Ordnung, zweite Ordnung, höhere Ordnung), von der Forderung nach Effektivität (Berechenbarkeit) und davon ab, ob unendliche Axiomenschemata zugelassen sind, ab.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen dem Wunsch nach einer kompakten, effektiven Axiomatisierung und der Notwendigkeit größerer Ausdrucksstärke; es bestehen Kompromisse zwischen Entscheidbarkeit, Vollständigkeit und expressiven Mitteln.

Synthese

Nichtaxiomatisierbarkeit markiert die Stelle, an der eine gewählte formale Sprache nicht ausreicht, um eine Zielklasse von Strukturen oder eine semantische Eigenschaft allein zu erfassen; sie deutet auf inhärente Komplexität der Klasse oder auf den Bedarf, die logischen Mittel zu erweitern.