Der relationale semantische Rahmen, der Formeln Wahrheit zuweist, indem er sie in Welten eines Kripke‑Rahmens zusammen mit einer Bewertung auswertet; Modalitäten werden über die Zugänglichkeitsrelation interpretiert, die Welten verbindet.

Prinzip

Wahrheit ist weltbezogen und wird induktiv über die Syntax der Formeln definiert: propositionale Atome werden durch die Bewertung in einer Welt entschieden, boolesche Junktoren folgen den üblichen Wahrheitstabellen, und modale Operatoren quantifizieren über zugängliche Welten gemäß R (z. B. □φ ist in w wahr genau dann, wenn φ in jedem v mit wRv wahr ist).

Demonstration

In der modalen Aussagenlogik wird eine Formel wie □(p→q)→(□p→□q) in einer Welt w ausgewertet, indem man für jedes v mit wRv prüft, ob die Implikation p→q in v gilt; Rahmeneigenschaften wie Transitivität oder Reflexivität können die globale Gültigkeit der Formel in Modellen über diese Rahmenklasse bestimmen.

Fehlanwendung

Kripke‑Wahrheitsbedingungen unverändert auf nicht‑normale modale Logiken oder auf Semantiken mit anderen Strukturprimitiven (z. B. Nachbarschaftssemantik) anwenden, oder die Zugänglichkeitsrelation als metaphysische Relation 'realer Möglichkeit' lesen ohne formale Bedingungen zu prüfen.

Konsequenz

Kripke‑Semantik liefert klare Begriffe lokaler Wahrheit, globaler Gültigkeit, Rahmenkorrespondenz und Vollständigkeitssätze; sie bietet eine konkrete Methode, syntaktische Axiome mit semantischen Rahmenbedingungen zu verknüpfen.

Umkehrung

Algebraische Semantik (z. B. Boolesche Algebren mit Operatoren) oder proof‑theoretische Semantik kehren die Gewichtung um, indem Formeln durch algebraische Operationen oder inferentielle Regeln behandelt werden statt durch weltbasierte Auswertung.

Abgrenzung

Deckt modale, temporale und intuitionistische Logiken und Varianten ab, in denen das Welten-/Zugänglichkeitsbild anwendbar ist; erfasst nicht ohne Anpassung manche substrukturellen oder parakonsistenten Logiken und ersetzt nicht unmittelbar algebraische oder proof‑theoretische Perspektiven, obwohl diese oft übersetzbar äquivalent sind.

Semantische Spannung

Konkurriert mit algebraischen und proof‑theoretischen Ansätzen: Kripke‑Semantik betont konkrete relationale Modelle und lokale Befriedigung, während konkurrierende Ansätze algebraische Struktur oder inferentielle Rollen hervorheben; die Spannung betrifft die Frage, ob Modalität besser als relationale Zugänglichkeit oder als algebraische/operative Struktur verstanden wird.

Synthese

Kripke‑Semantik interpretiert modale und verwandte Logiken, indem Formeln in Welten eines Rahmens mit Zugänglichkeitsrelation und Bewertung ausgewertet werden, wodurch syntaktische Axiome mit semantischen Rahmen‑Eigenschaften verbunden und Validitäts‑ sowie Korrespondenzbeweise ermöglicht werden.