Ein grundlegendes logisches Prinzip, das besagt, dass jedes Objekt oder jede Proposition mit sich selbst identisch ist; formalisiert in der Prädikatenlogik durch das Reflexivitätsaxiom x = x für das Identitätsprädikat und in der Aussagenlogik durch die Tautologie p ⇒ p (bzw. p ↔ p).

Prinzip

Identität ist reflexiv und bildet die Grundlage für Substitutions‑ und Ersetzungsregeln: Wenn a = b gilt, darf jede Formel mit a durch eine mit b ersetzt werden, ohne die Wahrheit zu verändern, unter angemessenen Bereichen und Typbedingungen.

Demonstration

In der FO‑Logik mit Identität führt das Hinzufügen des Axiomschemas ∀x (x = x) und der Substitutionsaxiome dazu, dass aus 2+2=4 und '4 ist gerade' gefolgert werden kann, dass '2+2 ist gerade' gilt; Identität ermöglicht solche gültigen Ersetzungen.

Fehlanwendung

Die Identitätsregel als aufschlussreiche Aussage über metaphysische Gleichheit zu deuten oder syntaktische Gleichheit mit intensionaler oder kontextueller Gleichheit gleichzusetzen; das Ignorieren von Bereichs‑ oder Typbeschränkungen bei Substitutionen kann zu Kategorienfehlern führen.

Konsequenz

Erlaubt gleichförmigen Austausch und die Anwendung von Leibniz' Gesetz (Ununterscheidbarkeit identischer Dinge) in Beweisen, wodurch formale Termmanipulation und Eigenschaftsübertragung zwischen gleichen Termen gültig werden; es ist grundlegend für algebraisches und modelltheoretisches Schließen.

Umkehrung

Die Verwerfung der Reflexivität führt zu Logiken mit nicht‑reflexiver Identität oder zu bestimmten parakonsistenten/intensionellen Systemen, in denen Identität abgeschwächt ist; solche Umkehrungen ändern das Ersetzungsverhalten und erfordern alternative Inferenzregeln.

Abgrenzung

Gilt für das formale Gleichheitsprädikat oder propositionale Selbstimplikation in klassischen Rahmen; in intensionalen Kontexten (modal, temporal, vage Prädikate) oder typisierten Sprachen kann das einfache Substitutionsprinzip eingeschränkt sein oder einer Rechtfertigung bedürfen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen syntaktischer Identität und begrifflicher Ununterscheidbarkeit: Zwei verschiedene Namen können auf dasselbe Objekt referieren (koreferentiell) ohne in allen intensionalen Kontexten substituierbar zu sein; daher ist das logische Gewerk der Identität von philosophischen Identitätsauffassungen zu trennen.

Synthese

Das Identitätsgesetz ist die minimale reflexive Annahme, die Substitution und Eigenschaftsübertragung in formalen Systemen sichert: es ist ein syntaktisch‑semantischer Dreh‑ und Angelpunkt für Gleichheitsreasoning, dessen Einschränkungen in intensionalen, typisierten oder nichtklassischen Rahmensichtbar werden.